例4.如图8，在图（1）中，互不重叠的三角形有4个，在图（2）中，互不重叠的三角形有7个，在图（3）中，互不重叠的三角形有10个，…，则在图（n）中互不重叠的三角形有_______个（用含n的代数式表示）。
图8
分析：这类图形计数型探索题有线段计数、射线计数、角计数等。解这类题首先要通过几个具体图形寻找规律，然后写出公式，或称一般表达式。解题的关键是找规律。 解：图（1）：1＋1×3＝4；图（2）：1＋2×3＝7；图（3）：1＋3×3＝10。 所以图（n）中有1＋3n个互不重叠的三角形，应填3n＋1。 五、其他类型探索题
例5.如图9，已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC。
(2) 图9
（1）在图9（1）中，判断能否在AB上确定一点E，使得AC2＝AE·AB，并说明理由；
（2）在图9（2）中，在条件（1）的结论下，延长EC到P。连接PB，如果PB＝PE，试判断PB和⊙O的位置关系，并说明理由。
分析：一般的探索题是由特殊到一般，探求结论的普遍性，而这道题是两个小题互相独立，只是基本图形相同。题（1）是作出满足线段关系式的图形，题（2）是判断图形中的一些线段的相互关系。
(1)
??
解：（1）作法有多种，这里举一例。如图10，在⊙O上取点D，使AD＝AC，连接CD交AB于点E，则有AC2
＝AE·AB。连接BC，显然△ACE∽△ABC，则AB：AC＝AC：AE，故AC2＝AE·AB。
图10
（2）如图11，过点B作⊙O的直径BF，连接CF、BC。可以证明∠PBC＋∠FBC＝90°，即PB⊥BF。所以PB是⊙O的切线。
图11
三．归纳与猜想
一、 知识综述
归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。 猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。
猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。
二、理解掌握
例1、用等号或不等号填空：
2
（1）比较2x与x ＋1的大小
2
①当x＝2时，2x x ＋1；
2
②当x＝1时，2x x ＋1；
2
③当x＝－1时，2x x ＋1．
2
（2）可以推测：当x取任意实数时，2x x ＋1．
分析：本题是通过计算发现和猜想一般规律题，正确计算和发现规律是关键。 解：（1）＜，＝，＜； （2）≤。 例2、观察下列分母有理化的计算：
12?115?4(12?1?2?1，
13?2?3?2，
14?3?4?3，
?5?4?从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：
13?214?31?????)(2002?1)=＿＿＿＿。
2002?2001分析：解本题时，要抓住分每有理化后的结果都是两数之差，且可以错位相消。还要注意相消后所剩下的是什么。 解：(12?1?13?2?14?3???)(2002?1)
2002?20011 =(2?1?3?2?4?3???2002?2001)(2002?1) =(2002?1)(2002?1)
=2002—1 =2001。
例3、 观察下列数表：
1 2 3 4 ? 第一行 2 3 4 5 ? 第二行 3 4 5 6 ? 第三行 4 5 6 7 ? 第四行 ? ? ? ? 第一列 第二列 第三列 第四列
根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为＿＿＿＿，第n行与第n列交叉点上的数应为＿＿＿＿。（用含正整数n的式子表示）
分析：本题要求的是同行同列交叉点上的数，因此，必须先研究同行同列交叉点上的数有什么规律，然后利用此规律解题。
解： 11 ， 2n—1.
例4、将一个边长为1的正方形纸，剪成四个大小一样的正方形，然后将其中的一个按同样的方法剪成四个正方形，如此循环下去，观察下列图形和所给表格中的数据后填空格。
操作的次数 正方形个数 1 4 2 7 3 10 ... 10 ..... n ?? ?? 分析：解本题的关键是：先归纳总结操作的次数与正方形个数之间的关系，再猜想空格中的结果。 解：操作的次数是 10时，正方形个数为31；操作的次数是 n时，正方形个数为1+3n.
例5、 下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有n(n>1)盆花，每个图案花盆总数为S，
按此规律推断，S与n的关系式是＿＿＿＿＿＿。 n=2 n=3 n=4 S=3 S=6 S=9
分析：题目给出了“每条边（包括顶点）有n(n>1)盆花”，而三角形有三条边，因此，三条边上的的花盆数量为3n，但每个顶点上的花盆用了两次，必须减去。所以S=3n—3。 解：S=3n—3。 三、拓宽应用
例6、⑴如下表：方程1，方程2，方程3，??，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空白处： 序号 1 2 3 ? ⑵若方程
方程 方程的解 61??1 xx?281??1 xx?3101??1 xx?4? x1?＿＿ x1?4 x2?＿＿ x2?6 x1?5 ? x2?8 ? a1??1(a?b)的解是x1?6，x2?10，求a，b的值，该方程是不是⑴中所给出的一列方程中的一xx?b个方程？如果是，它是第几个方程？
⑶请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程。 分析：通过解方程不难求出：x1=3,x2=4，将x1?6，x2?10代入方程易求a=12,b=5。
本题较难的是写出第n个方程和它的解，解决难点的关键是观察表格中方程和它们的解的排列规律，特别是每个变化的数与序号的关系。
61??1得，x1=3,x2=4； xx?2a1?1(a?b)，易求得a=12,b=5； （2）将x1?6，x2?10代入方程?xx?b解：（1）解方程
（3）第n个方程是：
2(n?2)1??1，它的解是：x1?n?2,x2?2(n?1)。 xx?(n?1)
例7、图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直放行上的边长均为b）： ●在图1中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）
●在图2中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）
A1B1A2A2B2A1B1B2A3B3
（图1） （图2） （图3）
⑴在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭的图形，并用斜线画出阴影；
⑵请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
S1=＿＿＿＿；S2=＿＿＿＿；S3=＿＿＿＿
⑶联想与探索：
如图4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的。
草 小 草 地 路 地 分析：本题考查的内容较多，有动手操作、有计算、有归纳猜想，还有想象。（1）和（2）两问并不困难，第（3）问可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a—1,b，这样面积就不难求了。
解：（1）
（2）
S1=ab--b；S2=ab--b；S3=ab—b;
(3) 空白部分表示的草地面积是ab—b。（可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a—1,b）
例8、阅读下列材料，按要求解答问题。
⑴观察下面两块三角尺它们有一个共同的性质：∠A=2∠B。我们由此出发来进行思考。在图a中，作斜边上的高
CD，由于∠B=30°，可知c=2b，∠ACD=30°，于是AD=
bb，BD=c?，由△CDB∽△ACB 22，可知
aBD?，即cabb??a2?c?BD，同理b2?c?AD，于是a2?b2?c(BD?AD)?c?(c?)???c(c?b)?c(2b?b)?bc。
22??AbCacBBcaAbCCbAcaB
22
图a 图b 图c
22222对于图b由勾股定理有a?b?c，由于b=c，故也有a?b?bc，这两块三角尺都具有性质a?b?bc，
在△ABC中，如果有一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形。两块三角尺就都是特殊的倍角三角形，上面的性质仍然成立吗？暂时把我们的设想作为一个猜测：
如图c，在△ABC中，若∠CAB=2∠ABC，则a?b?bc，在上述由三角尺的性质到“猜测”这一认识过程中，用到了下列四种数学思想方法中的哪一种？选出一个正确的将其序号填在括号内（ ）
① 分类的思想方法；②转化的思想方法；③由特殊到一般的思想方法；④数形结合的思想方法。 ⑵这个猜测是否正确？请证明。
分析：通过阅读可以发现：本题的研究是先从特殊情况入手，再得出一般情况的结论，因此，主要运用的是由特殊到一般的思想方法。故选③；一般情况下的证明虽然方法较多，但是有一定的难度，应加强解题思路的分析。 解：（1）③；
（2）猜测是正确的。
证明：延长BA到D，使AD=AC=b，连结CD，则∠ACD=∠ADC， ∵∠BAC=∠ACD+∠ADC，∴∠BAC=2∠ADC
∵∠BAC=2∠ABC ∠ABC=∠ADC，且BC=CD=a，∴△ACD∽△CBD ∴ b?22aab?c∴ a?b?bc22D
a
b A c C a
b 想一想：还有其他证明方法吗？
四、巩固训练
1、观察下列有规律的数，并根据规律写出第五个数：
B 1225310417＿＿＿
6?? 372、观察下列图形并填表。 1 1 1
2 梯形的个数 周长 1 5 2 8 3 11 4 14 5 6 ?? ?? n 3、 下列每个图形都是若干棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n（n≥2）个棋子，每个图
案的棋子总数为S，按下图的排列规律推断，S与n之间的关系可以用式子＿＿＿＿来表示。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n=2 2 2 2 2 2 2 2 S=4 n=3 2 2 2 2 2 2 S=8 n=4 2 2 2 2 2 S=12 n=5 S=16
4、⑴判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“3”
①2?2233?2（ ） ②3??3（ ） 33884455?4?5 （ ） ④5?（ ）
24241515③4?⑵你判断完以上各题后，发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围：＿＿＿＿
＿＿＿＿。