2004年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题
4分,满分24分.把答案填在题中横线
上)
(1)曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为__________ . (2)已知f?(ex)?xe?x,且f(1)?0,则
f(x)=__________ .
(3)设L为正向圆周x2?y2?2在第
一象限中的部分,则曲线积分
?Lxdy?2ydx的值为__________.
(4)
欧拉方程
x2d2ydx2?4xdydx?2y?0(x?0)的通解为__________ .
?210?(5)设矩阵A???120?,矩阵满?1?B?00??足ABA*?2BA*?E,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则
B=__________ .
(6)设随机变量X服从参数为?的
指数分布,则P{X?DX}= __________ .
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选
项前的字母填在题后的括号内)
(7)把x?0?时的无穷小量
???xcost2x2x0dt,???0tantdt,???0sint3dt,
使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是
(A)?,?,?
(B)?,?,?
(C)?,?,? (D)?,?,?
(8)设函数f(x)连续,且f?(0)?0,则存在??0,使得
(A)f(x)在(0,?)内单调增加 (B)f(x)在(??,0)内单调减少
(C)对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0) (D)对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0) (9)设??an为正项级数,下列结论
n?1中正确的是
(A)若?limn??nan=0,则级数?an收敛 n?11
(B)若存在非零常数?,使得
?limn??nan??,则级数?an发散 n?1(C)若级数
??an收敛,则
n?1limn??n2an?0
(D)若级数??an发散, 则存在非零
n?1常数?,使得limn??nan?? (10)设
f(x)为连续函
数,F(t)??tt1dy?yf(x)dx,则F?(2)等于
(A)2f(2) (B)f(2)
(C)?f(2)
(D) 0
(11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列
加到第3列得C,则满足AQ?C的可逆矩阵Q为
?010?(A)??100?
?01??1???010?
(B)??101??? ?001???010?(C)??100?
?011????
?011?
(D)??100? ?001????(12)设A,B为满足AB?O的任意两
个非零矩阵,则必有
(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关
(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关
(C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关
(D)A的行向量组线性相关,B的
列向量组线性相关
(13)设随机变量X服从正态分布
N(0,1),对给定的?(0???1),数u?满足
P{X?u?}??,若P{X?x}??,则x等
于
(A)u?
2 (B)u1??
2(C)u1??
2 (D) u1??
(14)设随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布,且其方差为?2?0. 令
Y?1nn?Xi,则
i?12
(A)
Cov(X1,Y)??2
现有一质量为9000kg的飞机,着
n (B)Cov(X1,Y)??2
(C)D(Xn?21?Y)?n?2
(D)D(X?n?11?Y)n?2
三、解答题(本题共9小题,满分94
分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
(15)(本题满分12分)
设
e?a?b?e2,证明
ln2b?ln2a?4e2(b?a).
(16)(本题满分11分)
某种飞机在机场降落时,为了减
少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部
张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速
减速并停下.
陆时的水平速度为700km/h 经测试,
减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为
k?6.0?106). 问从着陆点算起,飞机滑
行的最长距离是多少?
(注:kg表示千克,km/h表示千米/
小时)
(17)(本题满分12分)
计
算曲面积分
I???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy,其中??是曲面z?1?x2?y2(z?0)的上侧.
3
(18)(本题满分11分)
设有方程xn?nx?1?0,其中n为正
整数.证明此方程存在惟一正实根xn,
并证明当??1时,级数??x?n收敛.
n?1
(19)(本题满分12分) 设
z?z(x,y)是由
x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数,求z?z(x,y)的极值点和极值.
(20)(本题满分9分)
设有齐次线性方程组
??(1?a)x1?x2???xn?0,??2x1?(2?a)x2???2xn?0,(n?2),
?????????nx1?nx2???(n?a)xn?0,试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
(21)(本题满分9分)
?12?3?设矩阵A????14?3?的特征方程?a5??1??有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
(22)(本题满分9分)
4
设A,B为随机事件,且
P(A)?14,P(B|A)?113,P(A|B)?2,令
X???1,A发生,?0,A不发生; Y???1,B发生,?0,B不发生. 求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布. (2)X和Y的相关系数
?XY.
(23)(本题满分9分) 设总体X的分布函数为
?F(x,?)???1?1?,x?1,?0x?,x?1,
其中未知参数??1,X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本,
求:(1)?的矩估计量. (2)?的最大似然估计量.
5