2007年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所
(A)F(3)??F(?2) (B)F(3)?F(2) (C)F(3)?F(2) (D)F(3)??F(?2)
(4)设函数f(x)在x?0处连续,下列命题错误的是
54345434选项前的字母填在题后括号内) (1)当x?0?时,与x等价的无穷小量是
(A)1?ex (B)ln1?x 1?x(A)若limx?0
f(x)存在,则f(0)?0 xf(x)?f(?x)(B)若lim 存在,x?0x则f(0)?0 (C)若limx?0
f(x) 存在,则f?(0)?0 xf(x)?f(?x)(D)若lim 存在,x?0x
(C)1?x?1 (D)1?cosx
(2)曲线y??ln(1?ex),渐近线的条数为
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
1x则f?(0)?0
(5)设函数f(x)在(0, +?)上具有二阶导数,且f\x)?0, 令
un?f(n)?1,2,?,n,则下列结论正确的
是
(A)若u1?u2,则{un}必收敛 (B)若u1?u2,则{un}必发散
(C)若u1?u2,则{un}必收敛
上的图 (D)若u1?u2,则{un}必发散 (3)如图,连续函数y?f(x)在区间[?3,?2],[2,3]形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[?2,0],[0,2]的图(6)设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有
xdt.则下形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)??0f(t)一阶连续偏导数),过第2象限内的点列结论正确的是
M和第Ⅳ象限内的点N,?为L上从点
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M到N的一段弧,则下列小于零的是 (A)??(x,y)dx
(B)??f(x,y)dy (C)??f(x,y)ds (D)??f'x(x,y)dx?f'y(x,y)dy (7)设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A)α1?α2,α2?α3,α3?α1 (B)α1?α2,α2?α3,α3?α1 (C)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1 (D)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1 (8)
设
矩
阵
?A??2?1?1???12?1??100??,B???010??,则A与???1?12????000??B
(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似
(C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为
p?0?p?1?,则此人第4次射击恰好第
2次命中目标的概率为
(A)3p(1?p)2
(B)6p(1?p)2 (C)3p2(1?p)2 (D)6p2(1?p)2
(10)设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在Y?y的条件下,X的条件概率密度
fX|Y(x|y)为
(A)fX(x) (B)fY(y) (C)fX(x)fY(y) (D)fX(x)f Y(y)
二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)?2111x3exdx=_______. (12)设f(u,v)为二元可微函
数,z?f(xy,yx),则
?z?x=______.
(13)二阶常系数非齐次线性方程
y''?4y'?3y?2e2x的
通
解
为
y=____________.
(14)设曲面?:|x|?|y|?|z|?1,则
17
???(x?|y|)ds=_____________.
???0100?(15)设矩阵A??0010??则A3?0001??,?0000??的秩为________.
(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.
三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(17)(本题满分11分)
求函数 f(x,y)?x2?2y2?x2y2在区域D?{(x,y)|x2?y2?4,y?0}上的最大值和最小值.
(18)(本题满分10分)
计
算曲面积分
I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy,其中 ??
为曲面z?1?x2?y24(0?z?1)的上侧.
(19)(本题满分11分)
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在
(a,b)内具有二阶导数且存在相等的
最大值,f(a)?g(a),f(b)?g(b),证明:存在??(a,b),使得 f??(?)?g??(?).
(20)(本题满分10分)
设幂级数 ??anxn 在(??,??)内收
n?0敛,其和函数
y(x)满足
y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1.
(1)证明:a2n?2?n?1an,n?1,2,?. 18
(2)求y(x)的表达式.
(21)(本题满分11分)
?x1?x2?x3?0设线性方程组??x?1?2x2?ax3?0,与
?x1?4x2?a2x3?0方程 x1?2x2?x3?a?1,有公共解,求a的值及所有公共解.
(22)(本题满分11分)
设3阶实对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2.α1?(1,?1,1)T是A的属于特征值?1的一个特征向量,记
B?A5?4A3?E,其中E为3阶单位矩
阵.
(1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量.
(2)求矩阵B.
(23)(本题满分11分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???2?x?y,0?x?1,0?y?1?0,其他
(1)求P{X?2Y}. (2)求Z?X?Y的概率密度.
(24)(本题满分11分)
设总体X的概率密度为
??12?,0?x???f(x;?)???1,??x?2(1??)?1
??0,其他?X1,X2?,Xn是来自总体x的简单随机
样本,X是样本均值
(1)求参数?的矩估计量??.
(2)判断4X2是否为?2的无偏估计量,并说明理由.
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2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项(C)y????y???4y??4y?0 (D)y????y???4y??4y?0 (4)设函数f(x)在(??,??)内单调有界,?xn?为数列,下列命题正确的是
(A)若?xn?收敛,则?f(xn)?收敛 中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数f(x)??x20ln(2?t)dt则
f?(x)的零点个数
(A)0 (B)1
(C)2
(D)3
(2)函数f(x,y)?arctanxy在点(0,1)处的梯度等于
(A)i (B)-i (C)j (D)?j
(3)在下列微分方程中,以
y?Cx1e?C2cos2x?C3sin2x(C1,C2,C3为
任意常数)为通解的是 (A)y????y???4y??4y?0 (B)y????y???4y??4y?0
(B)若?xn?单调,则?f(xn)?收敛 (C)若?f(xn)?收敛,则?xn?收敛 (D)若?f(xn)?单调,则
?xn?收敛
(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶
单位矩阵. 若A3?0,则
(A)E?A不可逆,E?A不可逆
(B)E?A不可逆,E?A可逆
(C)E?A可逆,E?A可逆 (D)E?A可逆,E?A不可逆
(6)设A为3阶实对称矩阵,如果二
?(x,y,z)A?x??y???1在正交变换下的标准方程的图
??z??A的正特征值个数为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
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