2006年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题
4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)limxln(1?x)x?01?cosx?.
(2)微分方程y??y(1?x)x的通解
是 .
(3)设?是锥面z?x2?y2(0?z?1)
的
下侧,则
??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?
?.
(4)点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0的距离z= .
(5)设矩阵A???21???12??,E为2阶单
位矩阵,矩阵B满足BA?B?2E,则
B= . (6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则
P?max{X,Y}?1?= .
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个
选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数y?f(x)具有二阶导数,且f?(x)?0,f??(x)?0,?x为自变量x在
x0处的增量,?y与dy分别为f(x)在点
x0处对应的增量与微分,若?x?0,则
(A)0?dx??y (B)0??y?dy
(C)?y?dy?0
(D)dy??y?0
(8)设f(x,y)为连续函数,则
??410d??0f(rcos?,rsin?)rdr等于
(A)2?221?x0dx?xf(x,y)dy
(B)2?21?x20dx?0f(x,y)dy
(C)2?21?y20dy?yf(x,y)dx
(C)2?21?y20dy?0f(x,y)dx
(9)若级数??an收敛,则级数
n?1(A)??an收敛
n?1 (B)??(?1)nan收敛
n?111
(C)??anan?1收敛
n?1 (D)??an?an?1收敛 n?12(10)设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数,且?1y(x,y)?0.已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点,下列选项正确的是
(A)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 (B)若
fx?(x0,y0)?0,则
fy?(x0,y0)?0
(C)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 (D)若
fx?(x0,y0)?0,则
fy?(x0,y0)?0
(11)设α1,α2,?,αs,均为n维列向量,A是m?n矩阵,下列选项正确的是 (A)若α1,α2,?,αs,线性相关,则
Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关
(B)若α1,α2,?,αs,线性相关,则
Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关
(C)若α1,α2,?,αs,线性无关,则
Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关
(D)若α1,α2,?,αs,线性无关,则
Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关.
(12)设A为3阶矩阵,将A的第2
行加到第1行得B,再将B的第1列的
?110?-1倍加到第2列得C,记P???010??,??001??则
(A)C?P?1AP (B)C?PAP?1 (C)C?PTAP (D)C?PAPT
(13)设A,B为随机事件,且
P(B)?0,P(A|B)?1,则必有
(A)P(A?B)?P(A) (B)P(A?B)?P(B) (C)P(A?B)?P(A) (D)P(A?B)?P(B) (14)设随机变量X服从正态分布
N(?2),Y服从正态分布N(?,?21,?122),
且P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1},则
(A)?1??2 (B)?1??2
(C)?1??2 (D)?1??2
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或
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演算步骤)
(15)(本题满分10分)
设区域D=??x,y?x2?y2?1,x?0?,计算二重积分I???1?xydxdyD1?x2?y2.
(16)(本题满分12分)
设
数
列
?xn?满
足
0?x1??,x??1?sinxn?n?1,2,...?.
求:(1)证明limx??xn存在,并求之. 1lim?xn?1?xn2(2)计算x????x?. n?
(17)(本题满分12分)
将函数f?x??x2?x?x2展开成x的
幂级数.
(18)(本题满分12分)
设
函数
f?u?在?0,???内具有二阶导数,且z?f?x?y满足等式222??z?2z?x2??y2?0.
(1)验证f???u??f??u?u?0. (2)若f?1??0,f??1??1,求函数f(u)的表达式.
(19)(本题满分12分)
设在上半平面D???x,y?y?0?内,数f?x,y?是有连续偏导数,且对任意的t?0都有
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f?tx,ty??t2f?x,y?.
证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有
??yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0.
L
(20)(本题满分9分)
已知非齐次线性方程组
??x1?x2?x3?x4??1?4x1?3x2?5x3?x4??1 ??ax1?x2?3x3?bx4?1有3个线性无关的解,
(1)证明方程组系数矩阵A的秩
r?A??2.
(2)求a,b的值及方程组的通解.
(21)(本题满分9分)
设3阶实对称矩阵A的各行元素之
和
均
为3,
向量
α2,?1?T,αT1???1,2??0,?1,1?是线性方程
组Ax?0的两个解.
(1)求A的特征值与特征向量. (2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ?A.
(22)(本题满分9分)
随机变量x的概率密度为
??12,?1?x?0?f????1x?x4,0?x?2令y?x2,F?x,y?为二
??0,其它??维随机变量(X,Y)的分布函数.
(1)求Y的概率密度fY?y?.
(2)F???1??2,4??. 14
(23)(本题满分9分)
设总体X的概率密度为F(X,0)?
?0?x?11?? 1?x?2,其中?是未知参数0其它(0???1),X1,X2...,Xn为来自总体X的
简单随机样本,记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数,求?的最大似然估计.
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