2005年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题
4分,满分24分.把答案填在题中横线
上)
(1)曲线y?x22x?1的斜渐近线方程
为 _____________.
(2)微分方程xy??2y?xlnx满足
y(1)??19的解为____________.
(3)设函数u(x,y,z)?1?x2y2z26?12?18,
单
位向量
n??13{1,1,1},则
?u?n(1,2,3)=.________.
(4)设?是由锥面z?x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域,?是?的整个边界的外侧,则
??xdydz?ydzdx?zdxdy?____________.
?(5)设α1,α2,α3均为3维列向量,记矩阵
A?(α1,α2,α3),
B?(α1?α2?α3,α1?2α2?4α3,α1?3α2?9α3),
如果A?1,那么B? .
(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数,记为Y, 则P{Y?2}=____________.
二、选择题(本题共8小题,每小题
4分,满分32分.每小题给出的四个选
项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数f(x)?limn1?x3nn??,则
f(x)在(??,??)内
(A)处处可导
(B)恰有一个不可导
点
(C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点
(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,\M?N\表示\M的充分必要条件是N\则必有
(A)F(x)是偶函数?f(x)是奇函数
(B)F(x)是奇函数?f(x)是偶函数
(C)F(x)是周期函数?f(x)是周期函数 (D)F(x)是单调函数?f(x)6
是单调函数 (9)
设
函
数u(x,y)??(x?y)??(x?y)??x?yx?y?(t)dt,
其中函数?具有二阶导数,? 具有一阶导数,则必有
(A)?2u?2u?x2???y2
(B)
?2u?2u?x2??y2
(C)?2u?2?x?y?u?y2
(D)?2u?2u?x?y??x2
(10)设有三元方程xy?zlny?exz?1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的
一个邻域,在此邻域内该方程
(A)只能确定一个具有连续偏导
数的隐函数z?z(x,y)
(B)可确定两个具有连续偏导数
的隐函数x?x(y,z)和z?z(x,y)
(C)可确定两个具有连续偏导数
的隐函数y?y(x,z)和z?z(x,y)
(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(x,z)
(11)设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为
α1,α2,则α1,A(α1?α2)线性无关的充分
必要条件是
(A)?1?0 (B)?2?0
(C)?1?0
(D)?2?0
(12)设A为n(n?2)阶可逆矩阵,交
换A的第1行与第2行得矩阵B.A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则
(A)交换A*的第1列与第2列得B* (B)交换A*的第1行与第2行得
B*
(C)交换A*的第1列与第2列得
?B*
(D)交换A*的第1行
与第2行得?B*
(13)设二维随机变量(X,Y)的概率
分布为
X 0 1 Y 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互
独立,则
(A)a?0.2,b?0.3
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(B)a?0.4,b?0.1
(C)a?0.3,b?0.2 (D)a?0.1,b?0.4
(14)设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均
值,S2为样本方差,则
(A)nX~N(0,1)
(B)nS2~?2(n)
(C)
(n?1)XS~t(n?1)
(D)
(n?1)X21?1)
?n~F(1,nX2ii?2
三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(15)(本题满分11分) 设
D?{(x,y)x2?y2?2,x?0,y?0},
[1?x2?y2]表示不超过1?x2?y2的最
大整数. 计算二重积分
??xy[1?x2?y2]dxdy.D
(16)(本题满分12分) 求幂级数??(?1)n?1(1?1)x2nn?1n(2n?1)的收敛区间与和函数f(x).
(17)(本题满分11分)
如图,曲线C的方程为y?f(x),点(3,2)点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数
?30(x2?x)f???(x)dx.
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(18)(本题满分12分)
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在
(0,1)内可导,且f(0)?0,f(1)?1. 证明:
(20)(本题满分9分)
已
知
二
次
型
(1)存在??(0,1), 使得f(?)?1??. 22f(x1,x2,x3)?(1?a)x12?(1?a)x2?2x3?2(1?a)x1x2(2)存在两个不同的点?,??(0,1),使得f?(?)f?(?)?1.
(19)(本题满分12分)
设函数?(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分???(y)dx?2xydyL2x2?y4的值恒为
同一常数.
(1)证明:对右半平面x?0内的任
意分段光滑简单闭曲线C,有
???(y)dx?2xydyC2x2?y4?0.
(2)求函数?(y)的表达式.
的秩为2.
(1)求a的值；
(2)求正交变换x?Qy,把
f(x1,x2,x3)化成标准形.
(3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.
(21)(本题满分9分)
已知3阶矩阵A的第一行是
(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵
?123?B???246?(k为常数),且AB?O,求???36k??线性方程组Ax?0的通解.
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(22)(本题满分9分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)? 1
0?x?1,0?y?2x0其它
求:(1)(X,Y)的边缘概率密度
fX(x),fY(y).
(2)Z?2X?Y的概率密度
fZ(z).
(23)(本题满分9分)
设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体
N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,
记Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.
求:(1)Yi的方差DYi,i?1,2,?,n. (2)Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).
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