2009年中考数学试题汇编之17.2-等腰三角形与勾股定理
11．（2009年衡阳市）如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE． （1）求证：DA⊥AE；
（2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论． 【关键词】等腰三角形、矩形
B D C
【答案】解：（1）证明：
E
A F
1?AD平分?BAC??BAD＝?BAC?2?1AE平分?BAF??BAE＝?BAF??2? ? ?BAC??BAF?180???11??BAD??BAE＝(?BAC??BAF)??180??90?
22??DAE?90??DA?AE（2）AB＝DE，理由是：
?AB?AC??AD?BC??ADB?90???AD平分?BAC?? ? ??四边形AEBD是矩形?AB?DE BE?AE??AEB?90??? ?DAE?90???
12．（山东省临沂市）
如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东45方向上． （1）求出A，B两村之间的距离； （2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
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北
东
D
C l
A B
解：（1）方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得?A??B?45°． ?△ACO和△BDO都是等腰直角三角形．
?AO?2，BO?22．
． ?A，B两村的距离为AB?AO?BO?2?22?32（km）
方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E． 易证四边形CDBE是矩形， ?CE?BD?2．
在Rt△AEB中，由?A?45°，可得BE?EA?3．
?AB?32?32?32（km） ?A，B两村的距离为32km．
A C O P N D
l
M
B
（2）作图正确，痕迹清晰．
作法：①分别以点A，B为圆心，以大于
1AB的长为 2半径作弧，两弧交于两点M，N， 作直线MN；
②直线MN交l于点P，点P即为所求． （7分 13．（四川省泸州市）在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千
50米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个3监测点A．在如图8所示的直角坐标系中，点A位于y轴上，
米／时 (即
测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在A的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y轴上，
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AO为其中的一段．
(1)求点B和点C的坐标；
(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据：3?1.7)
(3)若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?
解：在RtΔAOB中，OA＝100,∠BAO＝60° 所以OB＝OA·tan∠BAO＝1003． RtΔAOC中,∠CAO＝45° 所以OC＝OA＝100,
所以B(-1003,0),C（100，0） （2）BC＝BO+CO＝1003+100,?18>
1003?100?18
1550, 3所以这辆车超速了。
（3）高大货车行驶到某一时刻行驶了x米，则此时小汽四行驶 了2x米，且两车的距离为
y?(100?x)2?(100?2x)2＝5(x?60)2?2000
当x＝60时，y有最小值是2000?205米，
答：两四相距的最近距离为205米． 14．（2009年重庆）作图，请你在下图中作出一个以线段AB为一边的等边△ABC．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论） A
19题图
B
已知： 求作：
【关键词】等边三角形, 尺规作图 【答案】
解：已知：线段AB． 求作：等边△ABC．
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作图如下：（注：每段弧各1分，连接线段AC、BC各1分）
C
A
B
15．（2009年重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE?AC． （1）求证：BG?FG；
（2）若AD?DC?2，求AB的长．
D
A
F B E
【关键词】勾股定理、直角三角形性质、等腰三角形性质和全等三角形的判定方法
，DE⊥AC于点F， 【答案】（1）证明：??ABC?90°??ABC??AFE．
?AC?AE，?EAF??CAB， ?△ABC≌△AFE ?AB?AF． 连接AG，
AG＝AG,AB＝AF，
?Rt△ABG≌Rt△AFG． ?BG?FG．
（2）解：∵AD＝DC,DF⊥AC，
G C
11AC?AE． 22??E?30°．
??FAD??E?30°， ?AF?3． ?AF??AB?AF?3．
A B E D F G
C
16．（2009年广西钦州）已知：如图2，⊙O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两
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点，点O1的纵坐标为5．求⊙O1的半径． 【关键词】垂径定理、勾股定理 【答案】
解：过点O1作O1C⊥AB，垂足为C，
则有AC＝BC．
y O1O C
由A（1，0）、B（5，0），得AB＝4，∴AC＝2．
图2 AOA B xB在Rt△AO1C中，∵O1的纵坐标为5， ∴O1C＝5．
∴⊙O1的半径O1A＝O1C2?AC2?(5)2?22＝3．
17．(2009年甘肃定西)如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD?DB?DE．
【关键词】全等三角形、勾股定理
222
【答案】证明:（1） ∵ ?ACB??ECD，
∴ ?ACD??BCD??ACD??ACE． 即 ?BCD??ACE． ∵ BC?AC,DC?EC， ∴ △ACE≌△BCD． （2）∵ ?ACB是等腰直角三角形， ∴ ?B??BAC?45?． ∵ △ACE≌△BCD， ∴ ?B??CAE?45?． ∴ ?DAE??CAE??BAC?45??45??90?．
∴ AD?AE?DE． 由（1）知AE＝DB，
∴ AD+DB=DE． 18．（2009年莆田）已知：等边△ABC的边长为a． 探究（1）：如图１，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成
222
222△MNG，求证：△MNG是等边三角形且．MN?3a；
探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作
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