由勾股定理得：x?A
2580m．，得△ABD的周长为
33A
A
D
C 图1
B D
C 图2
B D
C 图3
24．(2009年宁德市)（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：y?a?x?2??5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；（4分）
2（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）
C1 y N A O P 图2 图（2）B Q E F x C1 y M A O P B x C4 C2 C3 图1 图（1） 【关键词】二次函数,勾股定理的运用
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C1 A y H O P 图(1) B M G x C2 C3
2解：（1）由抛物线C1：y?a?x?2??5得
顶点P的为（-2，-5） ∵点B（1，0）在抛物线C1上 ∴0?a?1?2?2?5
5
解得，a＝
9
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G
∵点P、M关于点B成中心对称 ∴PM过点B，且PB＝MB ∴△PBH≌△MBG
∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3
∴顶点M的坐标为（4，5）
抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到
5?x?4?2?5 9（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到
∴顶点N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点N的纵坐标为5
设点N坐标为（m，5）
y C1 N ∴抛物线C3的表达式为y??A H B Q G E O P 图(2) K F x C4
作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G 作PK⊥NG于K
∵旋转中心Q在x轴上
∴EF＝AB＝2BH＝6
∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0） H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），
根据勾股定理得
PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104 PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50
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NF2＝52+32＝34
4419
，∴Q点坐标为（，0） 33102
②当∠PFN＝90o时，PF2+ NF2＝PN2，解得m＝，∴Q点坐标为（，0）
33
③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90o
192
综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点
33
的三角形是直角三角形．
25．(2009年河北)图10是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD ＝ 24 m，
12OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE ＝ ．
13（1）求半径OD；
①当∠PNF＝90o时，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝
（2）根据需要，水面要以每小时0．5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
E C A D B O 图10
【关键词】解直角三角形,勾股定理, 解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD＝24，
1∴ED ＝CD＝12．
2 在Rt△DOE中，
∵sin∠DOE ＝ED12 ＝， OD13∴OD ＝13（m）．
（2）OE＝OD2?ED2 ＝132?122=5．
∴将水排干需：
5÷0．5＝10（小时）．
26
．
(2009
年
潍
坊
)
在
四
A⊥B，B⊥C，D?，CB，?C连结PB、PC．
（1）试判断三角形PBC的形状；
（2）在线段BC上，是否存在点M，使AM⊥MD．若存在，请求出BM的长；若不
存在，请说明理由．
AB边形中，
A??b．取AD的中点P，，且a≤第 18 页 共 27 页
P A
D
C B
?AB∥DC， 解：（1）在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，． ?四边形ABCD为直角梯形（或矩形）
过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，?PQ∥AB， 又点P是AD的中点，?点Q是BC的中点，
111(AB?CD)?(a?b)?BC， 222?PQ?BQ?QC，
?△PQB与△PQC是全等的等腰直角三角形， ??BPC??BPQ??QPC?90°，PB?PC， ?△PBC是等腰直角三角形． （2）存在点M使AM⊥MD． 以AD为直径，P为圆心作圆P．
当a?b时，四边形ABCD为矩形，PA?PD?PQ，
圆P与BC相切于点Q，此时，M点与Q点重合，存在点M，使得AM⊥MD，
1此时BM?(a?b)．
2当a?b时，四边形ABCD为直角梯形，
AD?BC，PA?PD?PQ，圆心P到BC的距离PQ小于圆P的半径，圆P与BC相交，BC上存在两点M1，M2，使AM⊥MD，
过点A作AE⊥DC，在Rt△AED中，AE?a?b，DE?b?a，
又PQ?AD2?AE2?DE2，AD2?2a2?2b2，AD?2a2?2b2 2a2?2b2连结PM1，PM2，则PM1?PM2?，
22a2?2b2(a?b)2b?a22在直角三角形PQM1中，QM1?PM1?PQ?， ??442?BM1?BQ?M1Q?a．
同理可得：BM2?BQ?M2Q?b．
综上所述，在线段BC上存在点M，使AM⊥MD．
a?b当a?b时，有一点M，BM?；当a?b时，有两点M1，M2，
2BM1?a，BM2?b．
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P
A B
D E C
27．（09湖北宜昌）已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于
点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M． (1)求证：AB＝CD； (2)若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD 的数量关系，并说明理由．
CPM1 Q M2 AEDMF
【关键词】全等三角形的性质与判定、等腰三角性的性质 【答案】解：(1)证明：∵AF平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠DAB＝
12B∠BAC．
∵D与A关于E对称，∴E为AD中点．
∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC＝CD．
在Rt△ACE和Rt△ABE中，注：证全等也可得到AC＝CD ∠CAD+∠ACE＝∠DAB+∠ABE＝90°， ∠CAD＝∠DAB． ∴∠ACE＝∠ABE，∴AC＝AB． 注：证全等也可得到AC＝AB ∴AB＝CD． (2)∵∠BAC＝2∠MPC， 又∵∠BAC＝2∠CAD，∴∠MPC＝∠CAD． ∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA， ∴∠MPC＝∠CDA． ∴∠MPF＝∠CDM． ∵AC＝AB，AE⊥BC，∴CE＝BE． 注：证全等也可得到CE＝BE
∴AM为BC的中垂线，∴CM＝BM． 注：证全等也可得到CM＝BM
∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，(等腰三角形三线合一) ∴∠CME＝∠BME． 注：证全等也可得到∠CME＝∠BME ∵∠BME＝∠PMF， ∴∠PMF＝∠CME， ∴∠MCD＝∠F(三角形内角和)． 注：证三角形相似也可得到∠MCD＝∠F
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