28．（09湖南怀化）如图12，在直角梯形OABC中， OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．
（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程； （2）当t＝2秒时，求梯形OFBC的面积；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．
【关键词】一元二次方程解法及应用、勾股定理及逆定理、等腰三角形、等腰梯形的判定 【答案】
解：（1）如图4，过B作BG?OA于G，
2BG2?GA2?122?（15?10）?169?13
过Q作QH?OA于H，
则AB?222（10?t?2t)2?144?(10?3t)2 则QP?QH?PH?12?要使四边形PABQ是等腰梯形，则AB?QP，
2即144?(10?3t)?13,?t?或t?5（此时PABQ是平行四边形，不合题意，舍去）
（2）当t?2时，OP?4，CQ?10?2?8，QB?2。
53
?CB∥DE∥OF，?QBQEQDQB1????. AFEFDPOP2?AF?2QB?2?2?4，?OF?15?4?19.
1?S梯形OFBC?（10?19）?12?174.
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22（3）①当QP?PF时，则12?(10?t?2t)?15?2t?2t，
119?t?或t?.
3322222222②当QP?QF时，则12?(10?t?2t)?12?FH?12?[15?2t?(10?t)]
?t?即12?(10?3t)?12?(5?3t)，22225 6414?t?或t??(舍去）. ③当QF?PF时，则12?(5?3t)?15，33
综上，当t?，t?131954，t?，t?时，△PQF是等腰三角形． 363
29．（09湖南邵阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB?AD?DC，AC?AB，将CB延长至点F，使BF?CD． （1）求?ABC的度数；
（2）求证：△CAF为等腰三角形．
D A
C
B F
【关键词】等腰三角性的性质与判定、等腰梯形的性质
??DAC??ACB，?AD?DC，??DCA??DAC，【答案】（1）?AD∥BC，
11?DCB，?DC?AB，??DCB??ABC，??ACB??ABC． 22??CAB?90°，在△ACB中，?AC?AB， 1??ACB??ABC?90°，??ABC??ABC?90°，?ABC?60°；
2（2）连接DB．?在梯形ABCD中，AB?DC，?AC?DB， 在四边形DBFA中，DA∥BF，DA?DC?BF， ?四边形DBFA是平行四边形，?DB?AF， ?AC?AF，即△ACF为等腰三角形． ??DCA??ACB?
【关键词】直角三角形的有关计算、勾股定理 【答案】C 30．（2009年湖北十堰市）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0．1米）． （供选用的数据：2≈1．414，3≈1．732）
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【关键词】直角三角形的有关计算、测量问题、勾股定理 【答案】解：由题意可知 ∠ACP＝ ∠BCP＝ 90°，∠APC＝30°，∠BPC＝45°…2分 在Rt△BPC中，∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴BC?PC?60 在Rt△ACP中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°，∴AC?203 ∴AB?AC?BC?60?203
≈60+20×1．732 ＝94．64≈94．6(米)
答：教学楼A与办公楼B之间的距离大约为94．6米． 说明：（1）其它解法请参照上述评分说明给分；（2）不作答不扣分．
31．(2009年达州)如图10，⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．
(1)求证：DF垂直平分AC； （2）求证：FC＝CE；
（3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径．
【关键词】圆,平行四边形,勾股定理 【答案】
（1）∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O ∴DF⊥DE 又∵AC∥DE ∴DF⊥AC
∴DF垂直平分AC
（2）由（1）知：AG＝GC
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又∵AD∥BC
∴∠DAG＝∠FCG 又∵∠AGD＝∠CGF
∴△AGD≌△CGF（ASA） ∴AD＝FC
∵AD∥BC且AC∥DE
∴四边形ACED是平行四边形 ∴AD＝CE ∴FC＝CE5分
（3）连结AO； ∵AG＝GC，AC＝8cm，∴AG＝4cm
在Rt△AGD中，由勾股定理得 GD＝AD2-AG2＝52-42＝3cm 设圆的半径为r，则AO＝r，OG＝r-3
在Rt△AOG中，由勾股定理得 AO2＝OG2+AG2 有：r2＝(r-3)2+42解得 r＝256 ∴⊙O的半径为256cm． 32．（2009年广东省）如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE?CD．
（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BM?EM．
A D B E
【关键词】等边三角形；线段和角的概念、性质、画法及有关计算 【答案】解：（1）作图如下图，
A
C D M C B
E
（2）?△ABC是等边三角形，D是AC的中点 ?BD平分?ABC（三线合一）， ??ABC?2?DBE， ?CE?CD，
??CED??CDE，
又??ACB??CED??CDE ??ACB?2?E，
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又??ABC??ACB， ?2?DBC?2?E， ??DBC??E， ?BD?DE， 又?DM⊥BE， ?BM?EM
33．（2009 黑龙江大兴安岭）在边长为4和6的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一条边是矩形的长或宽，第三个顶点在矩形的边上，求所作三角形的面积． （注：形状相同的三角形按一种计算．）
【关键词】等腰三角形
【答案】． 面积是12,面积是8和12
34．（2009年崇左）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB?DC，AD?2，BC?4，延长BC到E，使CE?AD． （1）证明：△BAD≌△DCE；
（2）如果AC?BD，求等腰梯形ABCD的高DF的值．
D A
【关键词】在等腰梯形性质进行转化。
B
F C 【答案】
（第24题） ??CDA??DCE． （1）证明：?AD∥BC，又?四边形ABCD是等腰梯形，??BAD??CDA， ??BAD??DCE． ?AB?DC，AD?CE， ?△BAD≌△DCE．
?四边形ACED是平行四边形， （2）?AD?CE，AD∥BC，?AC∥DE． ?AC?BD，?DE?BD．
由（1）可知，△BAD≌△DCE，?DE?BD． 所以，△BDE是等腰直角三角形，即?E?45°， ?DF?FE?FC?CE．
?四边形ABCD是等腰梯形，而AD?2，BC?4，
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E