2010年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
数学(理科)
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．计算sin43cos13-sin13?cos43?的值等于（ ）
12??A． B．
33 C．
22 D．
32
【答案】A
【解析】原式=sin(43-13)=sin30=???12，故选A。
【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。
2．以抛物线y2?4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )
A．x2+y2+2x=0 B．x2+y2+x=0 C．x2+y2-x=0
D．x2+y2-2x=0
【答案】D
【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以
2222圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x-1)+y=1，即x-2x+y=0，选D。
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。
3．设等差数列?an?的前n项和为Sn,若a1??11,a4?a6??6,则当Sn取最小值时,n等于
A．6 【答案】A
【解析】设该数列的公差为d，则a4?a6?2a1?8d?2?(?11)?8d??6，解得
d?2，
B．7 C．8 D．9
所以Sn??11n?值。
n(n?1)2?2?n?12n?(n?6)?36，所以当n?6时，Sn取最小
22【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。
?x2+2x-3,x?0fx)=?4．函数（的零点个数为 ( )
?-2+lnx,x>0A．0 【答案】C
B．1 C．2 D．3
【解析】当x?0时，令x2?2x?3?0解得x??3；
当x?0时，令?2?lnx?0解得x?100，所以已知函数有两个零点，选C。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以选项A、C正确；因为A1D1?平面ABB1A1，
EH∥A1D1，所以EH?平面ABB1A1，又EF?平面ABB1A1， 故EH?EF，所以选
项B也正确，故选D。
【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。
7．若点O和点F(?2,0)分别是双曲线
xa222?y?1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支
????????上的任意一点,则OP?FP的取值范围为 ( )
A．[3-23,??) B．[3?23,??) C．[-【答案】B
74,??) D．[74,??)
【解析】因为F(?2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2?1?4，即a2?3，所以双曲线方
x2程为
3x032?y?1，设点
2P(x0,y0)，则有
????FP?(x0?2,y0)x032?y0?1(x0?23)，解得
y0?2?1(x0?3)，因为，
????OP?(x0,y0)，所以
22????????x04x02x(x0?y2)??1??2x0?1，此二次函数对应的抛物O?PF?0P(x2?)x=?00033线的对称轴为x0??43?3?234，因为x0?3，所以当x0?????????3时，OP?FP取得最小值
????????3?1?3?23，故OP?FP的取值范围是[3?23,??)，选B。
【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
?x?1?8．设不等式组?x-2y+3?0所表示的平面区域是?1,平面区域是?2与?1关于直线
?y?x?3x?4y?9?0对称,对于?1中的任意一点A与?2中的任意一点B, |AB|的最小值等于
( ) A．
285 B．4 C．
125 D．2
【答案】B
【解析】由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域?1中的点到直线3x?4y?9?0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，
可看出点（1，1）到直线3x?4y?9?0的距离最小，故|AB|的最小值为
2?|3?1?4?1?9|5?4，所以选B。
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【命题意图】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x??时，
f(x)?g(x)?0进行做答，是一道好题，思维灵活。
【解析】要透过现象看本质，存在分渐近线的充要条件是x??时，f(x)?g(x)?0。对于○1，当x?1时便不符合，所以○1不存在；对于○2，肯定存在分渐近线，因为当时，3，f(x)?g(x)?f(x)?g(x)?0；对于○
1x?1lnx，设?(x)?x?lnx,?\(x)?1x2?0且
lnx?x，所以当x??时x?lnx越来愈大，从而f(x)?g(x)会越来越小，不会趋近于
0，所以不存在分渐近线；○4当x?0时，f(x)?g(x)??21?1x?2?2ex?0，因此存在分
渐近线。故，存在分渐近线的是②④选C 二、填空题
11．在等比数列?an?中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式
an? ．
【答案】4n-1
【解析】由题意知a1?4a1?16a1?21，解得a1?1，所以通项an?4n-1。
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。
12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 ．
【答案】6+23
【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为
2?34?4?23，侧面积为3?2?1?6，所以其表面积为6+23。
【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。