13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。 【答案】0．128
42【解析】由题意知，所求概率为C5?0.8?0.2=0.128。
2【命题意图】本题考查独立重复试验的概率，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。 14．已知函数f(x)=3sin(?x-若x?[0,?2?6)(?>0)和g(x)=2cos(2x+?)+1的图象的对称轴完全相同。
]，则f(x)的取值范围是 。 32,3]
【答案】[-【解析】由题意知，??2，因为x?[0,f(x)的最小值为3sin(-?2]，所以2x-?6?[-?5?6,6]，由三角函数图象知：
32,3]。
?6)=-32，最大值为3sin?2=3，所以f(x)的取值范围是[-【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想。
（0，??）（0，??），恒有f(2x)=2f(x)成15．已知定义域为的函数f(x)满足：①对任意x?立；当x?（1，2]时，f(x)=2-x。给出如下结论：
①对任意m?Z，有f(2m)=0；②函数f(x)的值域为[0，??）；③存在n?Z，使得
nf(2+1)=；④“函数9f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是 “存在k?Z，使得
(a,b)?(2,2kk?1。 )”
其中所有正确结论的序号是 。 【答案】①②④
【解析】对①，因为2>0，所以f(2)=0，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。 【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。
mm
? 0 1616131 13?9?16?1964 139 16P 13 所以E?=0??1??4?。
17．（本小题满分13分）
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。 （1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。 【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为
xa22?yb22?1(a>0,b>0)，且可知左焦点为
概率为p。
（i）当点C在圆周上运动时，求p的最大值；
（ii）记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为?(0
【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。
【解析】（Ⅰ）因为AA1?平面ABC，BC?平面ABC，所以AA1?BC，
因为AB是圆O直径，所以BC?AC，又AC?AA1?A，所以BC?平面A1ACC1， 而BC?平面B1BCC1，所以平面A1ACC1?平面B1BCC1。
??
（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为r，则AB=AA1=2r，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为
V1=122222AC?BC?2r=AC?BC?r，又因为AC?BC=AB=4r，
所以AC?BC?AC+BC222=2r2，当且仅当AC=BC=2r时等号成立，
从而V1?2r3，而圆柱的体积V=?r2?2r=2?r3，
V1V2r33故p=?2?r=1?1,当且仅当AC=BC=2r，即OC?AB时等号成立，
所以p的最大值是
?。
（ii）由（i）可知，p取最大值时，OC?AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），B1（0，r，2r），
????因为BC?平面A1ACC1，所以BC=(r,-r,0)是平面A1ACC1的一个法向量，
????????n?OC设平面B1OC的法向量n=(x,y,z)，由???????得??n?OB1??rx?0?x?0，故， ???y??2z?ry?2rz?0取z?1得平面B1OC的一个法向量为n=(0,-2,1)，因为0?
?????所以cos??|cosn,BC|=?????n?BC??????|n|?|BC|2r5?2r?105。
19．（本小题满分13分）
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，
轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。 【解析】如图，由（1）得
OC?103,AC=10,故OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有OP?OC>AC，而小艇的最
?高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，
??设?COD=?(0
103cos?，
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t?10?103tan?30和t?103vcos?32，
所以
10?103tan?30?103vcos?，解得v?153sin(?+30)?,又v?30,故sin(?+30)??，
从而30???<90?,由于??30?时，tan?取得最小值，且最小值为33，于是
当??30时，t??10?103tan?30取得最小值，且最小值为
23。
此时，在?OAB中，OA?OB?AB?20，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30?，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。 20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）已知函数f(x)=x3-x，其图象记为曲线C。 （i）求函数f(x)的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点
P2(x2,f(x2))，曲线C与其在点P2(x2,f(x2))处的切线交于另一点P3(x3,f(x3))，线段 P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则S1S2 为定值；（Ⅱ）对于一般的三次函数g(x)=ax+bx+cx+d(a?0),请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。
【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。
【解析】（Ⅰ）（i）由f(x)=x-x得f(x)=3x-1=3(x-3'23233)(x+33)，
当x?(-?,-33（)和
33，??）时，f(x)>0；
'当x?(-33,33)时，f(x)<0，
'因此，f(x)的单调递增区间为(-?,-
33（)和
33，??），单调递减区间为(-33,33)。