北京市西城区2013届高三下学期(4月)一模数学(文)试卷
2013.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项．
1．已知全集U?{x?Z||x|?5}，集合A?{?2,1,3,4}，B?{0,2,4}，那么A?eUB? （A）{?2,1,4} 2．复数
（B） {?2,1,3}
（C）{0,2}
（D）{?2,1,3,4}
?1?i? i（B）?1?i
（C）?1?i
（D）1?i
（A）1?i
3．执行如图所示的程序框图．若输出y??3，则输入 角?? （A）
π 6π（B）?
6π（C）
3π（D）?
3
4．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且a1?0．若S2?2a3，则q的取值范围是
121（C）(??,?1)?(,??)
2（A）(?1,0)?(0,)
（B）(?,0)?(0,1) （D）(??,?)?(1,??)
12125．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主） 视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表 面积是
（A）6?3 （B）12?3 （C）12?23 （D）24?23
?x?1?0,?6．设实数x，y满足条件 ?x?y?1?0, 则y?4x的最大值是
?x?y?2?0,?（A）?4
7．已知函数f(x)?x?bx?c，则“c?0”是“?x0?R，使f(x0)?0”的 （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
8．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是棱B1C1的 中点，动点P在底面ABCD内，且PA1?A1E，则 点P运动形成的图形是
（A）线段
（C）椭圆的一部分
（B）圆弧
（D）抛物线的一部分 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
2（B）?1 2（C）4 （D）7
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知向量i?(1,0)，j?(0,1)．若向量i??j与?i?j垂直，则实数??______．
10．已知函数f(x)??
11．抛物线y?2x的准线方程是______；该抛物线的焦点为F，点M(x0,y0)在此抛物线
上，且MF?
12．某厂对一批元件进行抽样检测．经统计，这批元件
的长度数据 (单位：mm)全部介于93至105之间． 将长度数据以2为组距分成以下6组：[93，95)，
2?log2x,x?0,x?2,x?0, 则f()?f(?2)?______．
145，则x0?______． 2[95，97)，[97，99)，[99，101)，[101，103)， [103,105]，得到如图所示的频率分布直方图．若长
度在[97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直 方图，估计这批产品的合格率是_____．
13．在△ABC中，内角A，B，且C的对边边长分别为a，b，c，
则△ABC的面积是______．
cosAb3??cosBa4．若c?10，
?an?, an是偶数,14．已知数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn．若an?1??2且
??3an?1, an是奇数,S3?29，
则a1?______；S3n?______.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?sinx?acosx的一个零点是（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g(x)?[f(x)]?2sinx，求g(x)的单调递增区间．
16．（本小题满分14分）
在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB//CD，
223π． 4AC?3，AB?2BC?2，AC?FB．
（Ⅰ）求证：AC?平面FBC； （Ⅱ）求四面体FBCD的体积；
（Ⅲ）线段AC上是否存在点M，使EA//平面FDM？ 证明你的结论．
17．（本小题满分13分）
某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，
超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．
（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为
求甲
停车付费恰为6元的概率；
（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．
15，停车付费多于14元的概率为，312
18．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?e?ax，g(x)?ax?lnx，其中a?0． （Ⅰ）求f(x)的极值；
（Ⅱ）若存在区间M，使f(x)和g(x)在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围． 19．（本小题满分14分）
xx2y2如图，已知椭圆??1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A,B两点，线段AB43的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点． （Ⅰ）若点G的横坐标为?1，求直线AB的斜率； 4（Ⅱ）记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面 积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1?S2？说明理由． 20．（本小题满分13分）
已知集合Sn?{X|X?(x1,x2,?,xn),xi?N,i?1,2,?,n}(n?2)．
*????对于A?(a1,a2,?,an)，B?(b1,b2,?,bn)?Sn，定义AB?(b1?a1,b2?a2,?,bn?an)；
?(a1,a2,?,an)?(?a1,?a2,?,?an)(??R)；A与B之间的距离为d(A,B)??|ai?bi|．
i?1n（Ⅰ）当n?5时，设A?(1,2,1,2,5)，B?(2,4,2,1,3)，求d(A,B)；
????????B??BC，（Ⅱ）证明：若A,B,C?Sn，且???0，使A则d(AB,)?d(BC,)d?(AC,)；
（Ⅲ）记I?(1,1,?,1)?S20．若A，B?S20，且d(I,A)?d(I,B)?13，求d(A,B)的最大值．