北京市西城区2013年高三一模试卷
高三数学（文科）参考答案及评分标准
2013.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1． B； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C； 6．C； 7．A； 8．B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．0； 10．?71； 11．x??，2； 4212．80%； 13．24； 14．5，7n?22． 注：11、14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：依题意，得f(1分 即
3π)?0， ??????4sin分 解
3π3π22a?acos???0， ??????34422得
??????5分 a?1．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 f(x)?sinx?cosx． ??????6分
g(x)?[f(x)]2?2sin2x
?(sinx?cosx)2?2sin2x
?sin2x?cos2x ??????8分
π ???????2sin(2x?)．410分
πππ?2x??2kπ?， 2423ππ得 kπ??x?kπ?，k?Z． ??????
88由 2kπ?12分
所以 g(x)的单调递增区间为[kπ?13分
16．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在△ABC中，
因为 AC?3，AB?2，BC?1，
所以 AC?BC． ??????2分 又因为 AC?FB，
所以 AC?平面FBC． ??????4分 （Ⅱ）解：因为AC?平面FBC，所以AC?FC．
因为CD?FC，所以FC?平面ABCD． ??????6分
在等腰梯形ABCD中可得 CB?DC?1，所以FC?1． 所
以
△
3ππ,kπ?]，k?Z． ??????88BCD的面积为
S?3． ??????7分 4VF?BCD?所以四面体FBCD的体积为：
13S?FC?． ??????3129分
（Ⅲ）解：线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA// 平面FDM，证明如下：
?????
?10分
连结CE，与DF交于点N，连接MN．
因为 CDEF为正方形，所以N为CE中点． ??????11分
所以 EA//MN． ??????12分
因为 MN?平面FDM，EA?平面FDM， ??????13分
所以 EA//平面FDM．
所以线段AC上存在点M，使得EA//平面FDM成立． ??????14分
17．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A， ??????1分
则 P(A)?1?(?151)?． 3124 所以甲临时停车付费恰为6元的概率是
1． ??????4分 4（Ⅱ）解：设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a,b?6,14,22,30． ??????6分
则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：
(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22),
(22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30)，共16种情形． ??????
10分
其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这4种情形符合题意． ??????12分
故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为P?13分
41?． ??????16418.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：f(x)的定义域为R， 且 f?(x)?e?a． ??????2分
① 当a?0时，f(x)?e，故f(x)在R上单调递增． 从
而
xxf(x)没有极大值，也没有极小
值． ??????4分
② 当a?0时，令f?(x)?0，得x?ln(?a)．
f(x)和f?(x)的情况如下：
x f?(x) f(x) (??,ln(?a)) ln(?a) ? ↘ (ln(?a),??) 0 ? ↗ 故f(x)的单调减区间为(??,ln(?a))；单调增区间为(ln(?a),??)． 从而
f(x)的极小值为f(l?na(?)?a)?a；?a没有极大
值． ??????6分
（Ⅱ）解：g(x)的定义域为(0,??)，且 g?(x)?a?8分
③ 当a?0时，f(x)在R上单调递增，g(x)在(0,??)上单调递减，不合题意．
??????9分
④ 当a?0时，g?(x)?0，g(x)在(0,??)上单调递减．
当?1?a?0时，ln(?a)?0，此时f(x)在(ln(?a),??)上单调递增，由于g(x)在
1ax?1． ???????xx(0,??)上单调递减，不合题
意． ??????11分
当a??1时，ln(?a)?0，此时f(x)在(??,ln(?a))上单调递减，由于f(x)在
(0,??)上单调递减，符合题意．
综上，a的取值范围是(??,?1)． ??????13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：依题意，直线AB的斜率存在，设其方程为y?k(x?1)． ??????1分
x2y22222将其代入整理得 (4k?3)x?8kx?4k?12?0． ????????1，
433分
?8k2设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以 x1?x2?． ??????24k?34分
x1?x2?4k2故点G的横坐标为． ?224k?3?4k21依题意，得2 ????????，
4k?346分
解
得
1k??． ??????7分
2（Ⅱ）解：假设存在直线AB，使得 S1?S2，显然直线AB不能与x,y轴垂直．
?4k23k,2)．由（Ⅰ）可得 G(2 ??????
4k?34k?38分
因为 DG?AB，
3k24k?3?k??1， 所以 2?4k?xD4k2?3?k2?k2,0)．解得 xD?， 即 D(2 ??????
4k2?34k?310分