??z1当z?0时,fZ(z)??f(x,z?x)dx??(x?z?x)e?(x?z?x)dx??02
1?zz12?z?ze?dx?ze.02222.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,400)分布，随机的选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率.
设Xi为选取的第i只电子管的寿命，则Xi～N(160,202)i?1,2,3,4.令
Y?min{X1,X2,X3,X4}则P{Y?180}?[
P{X1?180}]
4，而
P{X1?180}?1??(1)?0.1587 因此P{Y?180}?0.000634
23 设随机变量X1,X2,X3相互独立，且Xi服从参数为?i(?i?0)的指数分布，求P{min{X1,X2,X3}?X2}. 解：X1,X2,X3的联合密度为
????e??1x1??2x2??3x3,x,x,x?0123 f(x1,x2,x3)??123其它,?0,P{min{X1,X2,X3}?X2}?P{X2?X1,X2?X3}????0x2x2????????2e??2x2dt2?1e??1x1dx1?3e??3x3dx30x2x2???(???2??3)x2?2??2e1dx2?.0?1??2??3(???????1?2?3e??1x1e??2x2e??3x3)dx1dx3dx2???
?习 题 四
补充;设随机变量X1,X2,X3独立，X1在[0.6]上服从均匀分布，X2服从N(0,22)，X3服从参数为??3的泊松分布，记Y?X1?2X2?3X3，则
D(Y)?D(X1)?4D(X2)?9D(X3)?3?4?4?9?3?46
1 设X服从如下表的概率分布： X 概率 -1 0 12 1 61 2 1 31 61 121 4求(1)E(X),(2)E(?X?1),(3)E(X2) 解：E(X)?(?1)?11111112?0????1??2??;E(?X?1)? 36261243311111135E(X2)?(?1)2??02????1??4??;
36461242421
?e?x,0?x??,2 设X的概率密度为f(x)??求(1)E(X),(2)E(X2)
其它,?0,解：E(X)??0??xe?xdx????1
xde?x??xe?x00?????????xedx 0??e?x0??E(X2)??
??2?x??2?x???x??xedx??xde??x2e?x0?2xedx?2000??3 设随机变量X,Y相互独立，其概率率密度分别为：
?e?(y?5),y?5,?2x,0?x?1,求E(XY). fX(x)??fY(y)??0,其它.0,y?5.??解： E(XY).?E(X)E(Y)?(独立?012x2dx)?(???5ye?(y?5)dy)
??2x312?(y?5)?(y?5)???()(?yde)?(?ye530?53??4 验证f(x)????(y?5)2edy)?(5?1)?453
1?(1?x)2,(???x???)是某个随机变量X的概率密
度，但具有这概率密度的随机变量X的数学期望不存在。 证明：（1）
?????f(x)dx??001???(1?x2)dx??????10?(1?x)x22dx?1
（2）
?????xf(x)dx??xdx?x???(1?x2)dx??00?(1?x)dx
而
????(1?x2)01?ln(1?x2)????；所以??。
5．一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，概率密度为
??x?1e4,x?0,f(x)??工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以4?0,x?0.?调换，若工厂售出一台设备获毛利100元，调换一台设备厂方需化费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.
22
A:售出设备一年内调换，则：P(A)?Y:表示调换费用。
14?04e11?x1?4dx?1?e4,
E(100?Y)??(100?yk)pk=100ek??200(1?e?14)?33.64（元）
6某车间生产的圆盘直径在期间(a,b)上服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。
?1?,a?x?b,解 直径X～f(x)??b?a记圆盘面积S,则
?其它,?0,x2?b21?1x3b E(S)?E(??)??xdx???aa44b?a4b?a3??12(a2?ab?b2).
7．设X,Y的分布律如下表:
X Y -1 0 1 P{X?xi} 1 0.2 0.1 0.1 0.4 2 0.1 0.0 0.1 0.2 3 0.0 0.3 0.1 0.4 P{Y?yj} 0.3 0.4 0.3 1 （1）求E(X),E(Y)，（2）设Z?（
1
）
X,YY，求E(Z);（3）设Z?(X?Y)2,求E(Z). X缘分布见上表
EX?1?0.4?2?0.2?3?0.4?2,EY??1?0.3?1?0.3?0
的边，故：
（2）EZ?（3）EZ???XiPij?ijijYj?1?1?1110.2?0.1?0?????0.1?? 123315??(xi?yj)2Pij???5
1,求28X,Y是相互独立同分布的随机变量，且P{X?0}?P{X?1}?max{X,Y}和min{X,Y}的数学期望。
解：记M?max{X,Y},m?min{X,Y}则：
23
P{M?0}?P{X?0}P{Y?0}?13，P{M?1}?1?P{M?0}? 4413P{m?1}?P{X?1}P{Y?1}?，P{m?0}?1?P{M?1}?
44故E[max{X,Y}]?31,E[min{X,Y}]? 44?12y2,0?y?x?1,9 设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??求：
其它,?0,E(X),E(Y),E(XY),E(X2?Y2).
x???12y2dy?4x3,x?(0,1) fX(x)??0?其它,?0,?112y2dx?12y2(1?y),y?(0,1)?fY(y)???y
?其它,?0,114E(X)??xfX(x)dx??4x4dx?.
005113E(Y)??yfY(y)dy??12y3(1?y)dy?.
0051x1E(XY)???xy?12y2dydx?.
002112216E(X2?Y2)??x2fX(x)dx??y2fY(y)dy?????
00351510 设系统I由元件A,B并联而成，X,Y分别表示A,B的寿命（以h记）并设A,B相互独立，且服从同一分布，其概率密度函数为
??e??x,x?0,求系统I的寿命Z的数学期望。 f(x)??0,x?0??1?e??x,x?0,解：分布函数为F(x)??而Z?Max{X,Y}，由63页
x?0?0,?(1?e??z)2,z?0,?2?(1?e??z)e??z,z?0 FZ(z)???fZ(z)??z?0z?0,?0,?0, 24
E(Z)??2???2??0???2ze??z0ze??zd(??z)???2?????13?.2?2?????zedz?00ze?2?zd(?2?z)??ze?2?z0?????2?zedz 011 一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数X的期望与方差。。
解：P{X?0}?939?0.75,P{X?1}???0.2045 1212113293219P{X?2}????0.0409,P{X?3}???0.0045.1211101211109
E(X)?0?0.75?1?0.2045?2?0.0409?3?0.0045?0.301
E(X2)?0?0.75?1?0.2045?4?0.0409?9?0.0045
?0.2045?0.1636?0.0405?0.4086D(X)?E(X2)?E2(X)?0.4086?0.09?0.318
12．随机变量X服从几何分布，其分布律为P{X?k}?p(1?p)k?1,k?1,2,?,其中0?p?1是常数.求E(X),D(X).
?E(X)?k?1?kqk?1?p(q?1?p)=
p(q?q2?q3??)=
??q?1?p??. ?1?q?p?? E(X)?2k?1?k?2k?1q1?p?p(kqk)? =p[q(qk)?]??p[q()?]?
1?qk?1k?1??????q?(1?q)2?2(1?q)q1?q???p?2 其中“′”表示对q的形式导数. =p?2?4(1?q)(1?q)p??D(X)?qp2,，
13．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},求E(X),?2,D(X)?2. 14
设
X为随机变量，c（
是常数由
，若于
c?E(X),证明:D(X)?E{(X?c)2}.
25