E(X2)????0?x3e??xdx??x2e??x1由(1)????x2???2xedx?00?2?
D(X)?E(X2)?[E(X)]2??26
?1002,由87页定理16：记
X?k?1?Xk16,则
16?100?1??(0.8)?1?0.7881?0.2119.i?1P{?Xi?1920}?1?P{i?116?Xi?1600?1920?1600
}40029．对敌人的防御阵地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量,其数学期望是2,方差是1.69,求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率.
第k次轰炸命中目标的次数为Xk(k?1,2,?,100),则Xk独立同分布,且
100100k?1??E(Xk)?2,?2?1.69,命中的总次数X?N(0,1),
?Xk,k?1?Xk?n?n?(近似)～
P{180?X?220}??(2020)??(?)?0.8759 1313
30 一部件包括10部分，每部份的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望是2㎜，均方差是0.05，规定总长度为
20?0.1(mm)时产品合格，试求产品合格的概率。
解：由87页定理6P(20?0.1?10i?1?Xi?20?0.1)?
10P{20?0.1?2020?0.1?2010?i?1?}?2?()?1
510?0.0510?0.0510?0.05查表?Xi?20?2?(0.632456)?1?2?0.7357?1?0.4714.31 设Xi(i?1,2,?,100)是相互独立同分布的随机变量，若
E(Xi)?1,D(Xi)?2.4,(i?0,1,2,?,100),，用中心极限定理求
31
P{?Xi?90}的近似值。
i?1100解
100100i?1100i?1：
P{?Xi?90}?1?P{?Xi?90}?1?P{i?1?1??(?12.4)??(12.4)??(0.65)?0.7?Xi?100?11002.4?90?100?1}1002.4
32．设保险公司的老年人寿保险一年有１万人参加，每人每年交４０元，若老人死亡，公司付给家属２０００元，设老人年死亡率为０．０１７，试求保险公司在这次保险中亏本的概率．
,p?0.017，公司亏本当且仅当 设老人死亡数为X,n?100002000X?40?10000,即X?200，于是，X?N(np,npq)，亏本的概率：
P{X?200}?1??(200?npnp(1?P))?1??(2.321)?0.01017．
33 （1）一个复杂系统由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10，为了使整个系统起作用，必须至少有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。
（2）一个复杂系统由n个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件的可靠性为0.90，且必须至少有80％以上的部件正常工作才能使整个系统正常工作。问n至少多大才能使系统的可靠性不低于0.95。 解：(1)由88页定理7 X表示损坏数，则X～b(100,0.1)
P{X?15}?P{X?10100?0.1?0.9?5}??()?0.9525
3100?0.1?0.915?10(2)同理：X表示损坏数，则X～b(n,0.1),N为0.2n取整。
P{X?N}?P{X?0.1n0.3n?N?0.1n0.3n}??(N?0.1n0.3n)?0.05
可得n至少为25。
34 随机的选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室测量某种化合物的PH值，每个人测量的结果是随机变量，它们相互独立且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以X,Y分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均
（1）求{4.9?X?5.1}. （2）求{?0.1?X?Y?0.1}. 解
：
（
1
）
由
87
页
定
理
32
6P{4.9?X?5.1}?P(4.9?80?80i?1?Xi?5.1?80)?
8888080?0.380?0.380?0.324查表8?2?()?1?2?(1.633)?1?2?0.9484?1?0.8968.24P{?8?i?1?Xi?80?0.5?}??()??(?)24
E(Xi?Yi)?0;D(Xi?Yi)?2?0.3?0.6?8?i?1?(Xi?Yi)?80（2）P{880?0.680?0.680?0.633查表2?2?()?1?2?(1.55)?1?2?0.8749?1?0.7498.3}??(2)??(?2)
35．某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望?(未知），方差?2?400.为了估计?，随机地取n只这种器件，在时刻t?0投入测试（设测试是相1互独立的）直到失败，测得其寿命为X1,X2,?,Xn,以X?n?Xk作为?的
k?1n估计.为了使P{X???1}?0.95,问n至少为多少？
n P{X???1}?0.95,?P{i?1?Xi?n?n??n?1?n}?0.95
P{i?1?Xi?n?n??nnn?}?0.95??(n?)??(?n?)?0.95n?1.962?202?1536.64,?n?1537查nn2?()?1.95,??()?0.975??（1.96）;?1.96,?2020
习题五
1 设从总体X抽样得到一个大小为10的样本，其值为：
4.5， 2.0， 1.0， 1.5， 3.4，4.5， 6.6， 5.0，3.5， 4.0。 分别计算样本均值X与样本方差S2. 解
：
33
2110110110222x??xi?3.6s??(xi?x)?(?xi?10x)?2.95.10i?19i?19i?1
2 设总体X服从正态分布N(72,100),为使样本均值大于70的概率不少于90％，其样本容量至少应取多少？ ：由104页（3.3
解）因为
X服从N(72,100),?P{X?70}?1?P{X?70}，从而 n查表?(1.29)?0.90?P{X?70}?1?P{X?70}?1?P{X?7210
70?72教材P34(5)n?}??(),?(x)单增.5n10n故:1.29?n,n?6.452?41.6025,取n?42. 53 设总体X～N(?,?2),?,?2均未知，已知样本容量n?16,样本均值X?12.5,样本方差s2?5.333,求P{X???0.4}.
解： s?5.333?2.312由104页定理4，
P{X???0.4}?1?PX???0.4?P{X????0.4}.
???????X??t(15)??X??t(15)?P{X???0.4}?1?P???0.692??P??0.692??????2.312/4??2.312/4?
t分布的对称性P{X???0.4}查表????X??t(15)?1?2P??0.692????2.312/4?
?1?2?0.25?0.5.4在正态总体N(20,3)中抽取2个独立样本，样本均值分别为X,Y，又样本容量分别为10，15，则P{X?Y?0.3}?0.6774 注：X～N(20,33),Y～N(20,),X,Y独立。， 1015E(X?Y)?0,D(X?Y)?DX?DY?331?? 10152 34
故P{X?Y?0.3}?P{X?Y12X?Y12?0.32}?P{X?Y12??0.32}
?2[1?P{?0.32}?2?(0.32)?0.67745在正态总体N(?,0.52)中抽取个独立样本X1,X2,?,X10,， （
1
）
已
10知
??0,求P{?Xi2?4};i?110（2）
?未知,求P{?(Xi?X)2?2.85};
i?1解：（1）由99页定理1有
10X210Xi?0i服从N(0,1),??4?Xi2服从?2(10)，故：
20.5i?10.5i?1P{?Xi2?4}?P{4?Xi2?16}i?1i?11010查表?2(10)?100.1;
（2）104页定理3,10i?1?10(Xi?X)20.52?4?(Xi?X)服从?2(9)，故
i?1P{?(Xi?X)2?2.85}?P{4?(Xi?X)2?11.4}i?1i?110查?2(9)?0.25;
6设X1,X2,?,Xn为泊松分布P(?)的一个样本，X,S2为样本均值和样本方差，求
（1）(X1,X2,?,Xn)的分布律。（2）D(X),E(S2).
P{X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn}??P{X?xi}解：nn???xii?1xi!e????i?1ni?1?xie?n?,(xi?0,1,2,?)ni?1 ?xi! 35