（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为∠DCF=∠P，求证：
=
=
．
的中点，且
考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）连接CM，根据圆周角定理得出∠PAC=∠ABC，∠M=∠ABC，得出∠PAC=∠M，由∠M+∠MAC=90°，得出∠PAC+∠MAC=90°，即：∠MAP=90°，就可证得结论； （2）连接AE，根据垂径定理得出AM⊥BC，进而得出AP∥BC，得出△ADP∽△CDB，根据相似三角形的性质得出==． =，然后证得△ADE∽△CDF，得出=，从而证得解答： 证明：（1）连接CM， ∵∠PAC=∠ABC，∠M=∠ABC， ∴∠PAC=∠M， ∵AM是直径， ∴∠M+∠MAC=90°， ∴∠PAC+∠MAC=90°， 即：∠MAP=90°， ∴MA⊥AP， ∴MA⊥AP， ∴PA是⊙O的切线； （2）连接AE， ∵M为中点，AM为⊙O的直径， ∴AM⊥BC， ∵AM⊥AP， ∴AP∥BC， ∴△ADP∽△CDB， ∴=， ∵AP∥BC， ∴∠P=∠CBD， ∵∠CBD=∠CAE， ∴∠P=∠DCF， 第21页（共25页）
∴∠DCF=∠CAE， ∵∠ADE=∠CDF， ∴△ADE∽△CDF， ∴=∴=， =． 点评： 本题考查了圆周角定理的应用，切线的判定，垂径定理的应用，三角形相似的判定和性质，解答时正确添加辅助线是关键． 25．（12分）（2015?呼和浩特）已知：抛物线y=x+（2m﹣1）x+m﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．
（1）求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围； （2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C． ①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长； ②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据函数的增减性，可得符合条件的函数解析式，根据函数与不等式的关系，可得答案； （2）①根据BC关于对称轴对称，可得A点的纵坐标，根据矩形的周长公式，可得答案； ②分类讨论A在对称轴左侧，A在对称轴右侧，根据对称，可得BC的长，AB的长，根据周长公式，可得函数解析式，根据函数的增减性，可得答案． 22解答： 解：（1）∵抛物线y=x+（2m﹣1）x+m﹣1经过坐标原点（0，0）， 22
∴m﹣1=0， ∴m=±1 ∴y=x+x或y=x﹣3x， ∵当x＜0时，y随x的增大而减小， 2∴y=x﹣3x，由函数与不等式的关系，得y＜0时，0＜x＜3； 222第22页（共25页）
（2）①如图1， 当BC=1时，由抛物线的对称性，得点A的纵坐标为﹣2， ∴矩形的周长为6； ②∵A的坐标为（a，b）， ∴当点A在对称轴左侧时，如图2， 矩形ABCD的一边BC=3﹣2a，另一边AB=3a﹣a2， 周长L=﹣2a2+2a+6．其中0＜a＜，当a=时，L最大=，A点坐标为（，﹣ 当点A在对称轴右侧时如图3， 矩形的一边BC=3﹣（6﹣2a）=2a﹣3，另一边AB=3a﹣a2， 第23页（共25页）
），
周长L=﹣2a+10a﹣6，其中＜a＜3，当a=时，L最大=综上所述：当0＜a＜时，L=﹣2（a﹣）+∴当a=时，L最大=22，A点坐标为（，﹣）； ， ，A点坐标为（，﹣）， 2当＜a＜3时，L=﹣2（a﹣）+∴当a=时，L最大=， ，A点坐标为（，﹣）． 点评： 本题考查了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，利用函数的增减性舍去不符合题意的函数解析式；（2）利用对称性得出BC的长，利用矩形的周长公式得出二次函数解析式，利用二次函数的性质得出答案，分类讨论是解题关键，以防遗漏． 第24页（共25页）
参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；caicl；星期八；zcx；1286697702；放飞梦想；1339885408@qq.com；HLing；wdxwwzy；lantin；sjzx；dbz1018；HJJ；张其铎；wdzyzmsy@126.com；sks；zcl5287；守拙（排名不分先后） 菁优网
2015年6月26日
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