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第一讲 行列式
一、概念
1.知识点：全排列；逆序与逆序数；奇(偶)排列；n阶行列式定义与特殊行列式的计算；行列式的8条性质与展开式的性质；克莱姆法则.
例1 求下列排列的逆序数 （1）135?(2n?1)246?(2n) 解 N[135?(2n?1)246?(2n)] ?0?1?2???(n?1) =1n(n?1). 2（2）135?(2n?1)(2n)(2n?2)?642 解 N[135?(2n?1)(2n)(2n?2)?642]
?(n?1)?(n?2)???1?(n?1)?(n?2)???1?n(n?1).
结论：为保证在计算排列逆序数时不漏算也不多算逆序，一般是计算从前至后计算每一个元素与它前面的元素构成的逆序，然后计算这些逆序的总和.
1. 【定理1】一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 【推论】奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数是偶数.
2.【n阶行列式定义】设有n个数排成n行n列的数构成的式子
2 1
a11a21D??an1a11a21D??an1其中：(?1)a12?a1n，规定其计算为
a22?a2n???an2?anna12?a1na22?a2n???(?1)?(p)a1p1a2p2?anpn???p??nan2?ann?(p).
a1p1a2p2?anpn为行列式的一般项，它由位于行
?(p)(?1)列式不同行、不同列的n个元素的乘积并冠以符号，
r(p)为列标排列p1p2?pn的逆序数. D的值为取遍行列式各项
的代数和.
a11或 D?a12??a1n????p??na21?an1a22?a2nan2?ann?(?1)?(p)ap11ap22?apnn.
aij)； 注意：(1)D可简写为|aij|或det(（2）一阶行列式： D?a11?a11.（注意区别于绝对值）；
?1（3）对角形行列式D??2???1?2??n
?n
2
?1D??2??(?1)n(n?1)2?1?2??n；
?n(4)三角行列式（未写出的都是0）：
a11a21D??an1a22??an2?ann?a11a22?ann；
a11D?a12?a1na22?a2n?a11a22?ann
??ann4.行列式的性质 （1）行列式值为零的充分条件：一行（或列）元素全为零、两行（或列）元素相同、两行（或列）元素对应成比例；上述三条件之一满足时，行列式值为零。
（2）行列式值不变：转置、倍行加（或倍列加）. （3） 行列式值改变：倍行（倍列）、换行（列）.
(4) 拆行（拆列）,拆行（拆列）时必须搞清楚拆成了几个行列式. 5.块行列式的性质：
3
a11?a1k?D??0b11?b`r??br1?brr
ak1?akkc11?c1k??cr1?crka11?a1kb11?b1r??????D1D2. ak1?akkbr1?brr结论：
（1）计算行列式常用方法：利用行列式性质把行列式化为上 （下）三角形行列式，由对角线上元素乘积算得行列式的值． （2）对行列式进行初等变换时要注意书写符号的正确性和标注变换 顺序.
（3）对行列式进行初等变换【换行（列）；倍行（列）；倍行加 （倍列加）】时尽量回避分数运算，最好使的左上角的元素为
1or?1，以降低运算难度.
（4）行列式中零元素较多时，可用选元素法使行列式变为只有极少数的非零项，直接用定义计算行列式的值. 6.行列式展开式的性质
（1）【引理】一个 n 阶行列式D，如果D中第i行(j列)所有 元素除aij外都为零,那么D?aijAij. （2）重要结论：
?D,i?j. ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn??aikAjk??0,i?jk?1?n 4
?D,i?j。 a1iA1j?a2iA2j???aniAnj??akiAkj??k?1?0,i?jn（3）拉普拉斯定理：在n阶行列式D?aijn?n中，任意选取
k(1?k?n)行（列），由这k行（列）组成的所有k阶子式与其
代数余子式的乘积的和等于D.
解释：k阶子式的代数余子式为在D中划去k阶子式M所在的行与列后，余下的元素按原有的顺序组成的n?k阶子式并冠以符号
(?1)i1?i2???in?j1?j2???jn，其中i1?i2???in与j1?j2???jn依次为子式M的
行标与列标和.
7.范德蒙德（Vandermonde）行列式
1x12Dn?x1?n?1x11x22x2?n?1x21x32x3??1?xn2?xn????(xi?xj),(n?2).
1?j?i?nn?1n?1x3?xn说明：n阶（高阶）行列式计算可考虑：循环行列式、交叉线行列式、箭形行列式、递推行列式、三对角行列式、范德蒙德行列式，
常用的方法：化为三角形行列式或用递推或用加行加列或用拆行拆列转化为特殊行列式计算.
8.克莱姆法则：含有n个未知数的线性方程组
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2? （1） ???????an1x1?an2x2???annxn?bn.的系数行列式D?|aij|?0时,方程组有惟一解
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