x1?DD1D,x2?2,?,xn?n.其中 DDDa11D?a21?an1a12a22??a1n?a2n，
??an2?anna11?a1,j?1Dj?a21?a2,j?1??an1?an,j?1b1b2?bna1,j?1?a1na2,j?1?a2n?an,j?1??ann.
(若常数项 b1,b2,?,bn不全为零时，方程组（1）称为非齐次线性方程组.) 注意问题：
（1）克莱姆法则只适合于未知数个数与方程个数相等的线性方程
组，且必须方程组的系数行列式不为零才有效. （2）非齐次线性方程组的解有三种情况：惟一解，无解，无穷多解. （3）齐次线性方程组的解由二种情况：惟一解（零解），无穷多解（非零解）.
二、提问：
11?131.设f(x)?19?12710001x ，则方程 f(x)?0的根为 ？ 2xx3x1??1,x2?3,x3?0 .那是因为由范德蒙德行列式的结论知
f(x)?(x?0)(x?3)(x?1)(0?3)(0?1)(3?1)??12x(x?3)(x?1)
6
2.设x1,x2,x3是方程x3?px?q?0 的三个根，则行列式
x1x3x2x2x1x3x3x2的值为 多少？ x1解 x1,x2,x3是方程x3?px?q?0 的三个根，由韦达定理得
x1?x2?x3?0，又由循环行列式的解法知
x1x2x3cx2x30x2x3x1?c?2?cx31?x2?x33x1x2x1?x2?x3x1x2?0x1x2?0. x2x3x1x1?x2?x3x3x10x3x1附录：一元
n次方程的韦达定理 对于方程：an?10xn?a1x???an?1x?an?0(a0?0)， 设该方程的
n个根为：x1,x2,?,xn，则
??x1?x2???xa1n???a0???x1x2?x1x3???xa21xn???xn?1xn?a0 ?????????x1x2?xnann?(?1)a0a1a2a3p3.设Db1b2b3p4?cc，则
12c3pd1d2d3p
7
A11?A21?A31?A41? .
1a21b2答案：A11?A21?A31?A41??1c21d2a3b3c3d3pp? 0 . pp4.设A3?3,B4?4且A?4,B??3,计算 BA,AB.
3解 BA??3A?(?3)A??108，
AB?4B?43?(?2)??128.
设 Dn?aij，则D??aij??
5443325. 设f(x)?2?xx000322?xx0000000x000000005，则x项的系数是 006(?1)N(543216)(?1)2?6?6.
26.若 n阶行列式 aij的零元素个数大于n?n，则该行列式的值
（ ）
（A）?1 ；(B) 0 ；(C) 1 ； (D) 1 或 ?1. 答案：(B) 0.
7.四阶行列式D中第三列元素依次为 ?1,2,0,1，它们对应的余子式依次为 5,3,?7,4，则D??
8
D??1?(?1)3?15?2?(?1)3?23?0?(?1)3?3(?7)?1?(?1)3?14??158.四阶行列式D的第二行元素分别为1,2,3,?2；第四行对应元素的代数余子式值分别为2,x,1,?3，求x的值. 解：行列式展开式的性质知
1?2?2x?3?1?2?(?3)?0?x??112. 9.写出四阶行列式D?aij4?4展开式中含a13a42的项.
解 含a13a42的项为：
(?1)N(3412)a13a24a31a42?a13a24a31a42； (?1)N(3142)a13a21a34a42??a13a21a34a42.
提问.写出五阶行列式中含有因子a11a23的项. 10.下列n(n?2)行列式的值必为零的是（ ） （A）行列式主对角线上的元素全为零.
（B）三角形行列式主对角线上有一个元素为零. （C）行列式零元素的个数多于n个. （D）行列式非零元素的个数小于n个.
a11a12a1311. 设D?a21a22a23?1，则 a31a32a33 9
4a112a11?3a12a13D1?4a212a21?3a22a23? . 4a312a31?3a32a33答案：-12.
xaa?aaxa?a12.设 Dn?aax?a，则
?????aaa?xAn1?An2???Ann?(x?a)n?1.
分析：此题将各行加给第一行后提取公因式，再用新的第一行乘以（－1）加给其余各行变为三角形行列式求值. 答案：An1?An2???Ann?Dn?(x?a)n?1
x113.设D?x2x，
3x4试求D的所有元素的代数余子式的和？ 解：设各个代数余子式的和为S，则
1111x1S?x21111x?3x
3x4x4 10