（第二个行列式作换列运算c1?c2，c2?c3）
xyz?(a3?b3)yzx. zxy例8 计算n阶三对角行列式
a?bab0?001a?bab?00D01a?b?00n???????(a?b) 000?a?bab000?1a?b解 （递推）易见 Da?b?a2?b21?a?b，
Da?baba3?b322?1a?b?(a?b)?ab?a?b， 当n?2时，将Dn按的一列展
a?bab0?001a?bab?00展开cD?1(a?b)01a?b?00n??????000?a?bab000?1a?b 21
ab00?001a?bab?00?(?1)2?101a?b?00?????? 000?a?bab000?1a?b第二个行列式展开r?1(a?b)Dn?1?abDn?2
即Dn?(a?b)Dn?1?abDn?2，为递推关系式，由此转化得Dn?aDn?1?b(Dn?1?aDn?2)?b2(Dn?2?aDn?3)
???bn?2(D2?aD1)
同理得Dn?bDn?1?a(Dn?1?bDn?2)?a2(Dn?2?bDn?3)
???an?2(D2?bD1)
因为 D2?aD1?a2?b2?ab?a(a?b)?b2，
D2?bD21?b?a2?ab?b(a?b)?a2
?Dn所以 ?n?aDn?1?b(1)?Dnn?bDn?1?a(2)
（2）×a－（1）×b，得 aD1n?bD?1n?an?bn?
an?1?bn?1因此 Dn?a?b(a?b)． 注意，当a?b时，Dnn?a(1?n)．
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x1b例9 计算行列式 Dn?bax2aa?a?abx3?a(b?a) ?????bbb?xn?a?a
x1b解 Dn?bax2aabx3?a?????bbaab?b?(xn?b)x1bax2aa?a?ax1拆rnax2?a?abx3?a?bb x3?a?bb??????????000?xn?bbbb?b对第一个行列式作c1?cnc2?cn??cn?1?cn第二个行列式展开rnx1?a0b?ab?a?00?a?x2?a0?ab?ax3?a?a?(xn?b)Dn?1 ?0?0???b将第一个行列式按rn展开?????????b(x1?a)(x2?a)?(xn?1?a)?(xn?b)Dn?1
即Dn?b(x1?a)(x2?a)?(xn?1?a)?(xn?b)Dn?1………（1） 由于在Dn中a与b的对称位置可知
（2） Dn?DT?a(x1?b)(x2?b)?(xn?1?b)?(xn?b)Dn?1……n
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由于a?b，（1）-（2）得
Dn?a?(xi?b)?b?(xi?a)i?1i?1nna?b .
1?x1y1例10 计算行列式 Dn?1?x1y2?1?x1yn1?x2y2?1?x2yn
1?x2y1???1?xny11?xny2?11?x1y2?1?x1yn拆列解 D11?x2y2?1?x2ynn?????
11?xny2?1?xnynx11?x1y2?1?x1yn＋yx21?x2y2?1?x2yn1????
xn1?xny2?1?xnyn1x1?x1x11?1??n1x2?x2x1?1i?2yi???y2??1????
1xn?xnxn1?1?1?x1y1,(n?1)＝??(x2?x1)(y2?y1),(n?2). ??0,(n?3)例11 计算
?1?xnyn24
anan?111b1an?2b2n?111?a1b1bn1D?an2an?12b2an?222b2?abn?12bn22n?1??????
anan?1an?22n?1n?1n?1bn?1n?1bn?1?an?1bn?1bnn?1（提取每行的公因式得）
1b1b1na(b121a)?(1a)1ri?1,2,i?ain(?)b2b22?n11?i??n?1aia(2a)?(b2n2a)2
?????1bn?1(bn?1)2?(bn?1a)nan?1an?1n?1（转置后为范德蒙行列式）
??an1?i?n?1i?1?j??i?n?1(bia?bj)??(ajbiaj1?j?i?n?1i?aibj).
例12 计算行列式
abcdD?a2b2c2d2a3b3c3d3 b?c?da?c?da?c?da?b?crabcdr4?r14?[a?b?c?d]b2解 D?a?b?c?d]a2[c2d2a3b3c3d3 1111 25
r4?r3r3?r2r2?r11a?(?1)3[a?b?c?d]2aa31bb2b31cc2c31d d2d3??(a?b?c?d)(d?c)(d?b)(d?a)(c?b)(c?a)(b?a).
1a例13 计算行列式D?2aa41bb2b41cc2c41d. d2d41a2解 构造范德蒙德行列式 f(x)?aa3a4则由范德蒙德行列式知
1bb2b3b41cc2c3c41dd2d3d41xx2 x3x4f(x)?(x?d)(x?c)(x?b)(x?a)?(d?c)(d?b)(d?a)(c?b)(c?a)(b?a)其中x的系数为
3，
?(a?b?c?d)(d?c)(d?b)(d?a)(c?b)(c?a)(b?a)
将f(x)按第五列展开可得到f(x)的另一种表示形式，由待定系数法知x的系数为(?1)34?5D在两个不同的展式中相等，从而
(?1)4?5D??(a?b?c?d)(d?c)(d?b)(d?a)(c?b)(c?a)(b?a)故 D?(a?b?c?d)(d?c)(d?b)(d?a)(c?b)(c?a)(b?a).
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