关键是求出BC最短时的位置． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 26．（12分）（2013?内江）如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC． （1）求证：BC平分∠PDB；
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（2）求证：BC=AB?BD；
（3）若PA=6，PC=6，求BD的长．
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 计算题． 分析： （1）连接OC，由PD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于PD，由BD垂直于PD，得到OC与BD平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证； （2）连接AC，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到△ABC为直角三角形，根据一对直角相等，以及第一问的结论得到一对角相等，确定出△ABC与△BCD相似，由相似得比例，变形即可得证； （3）由切割线定理列出关系式，将PA，PC的长代入求出PB的长，由PB﹣PA求出AB的长，确定出圆的半径，由OC与BD平行得到△PCO与△DPB相似，由相似得比例，将OC，OP，以及PB的长代入即可求出BD的长． 解答： （1）证明：连接OC， ∵PD为圆O的切线， ∴OC⊥PD， ∵BD⊥PD， ∴OC∥BD， ∴∠OCB=∠CBD， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∴∠CBD=∠OBC， 则BC平分∠PBD； （2）证明：连接AC， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD， ∴△ABC∽△CBD， ∴=，即BC=AB?BD； 2 （3）解：∵PC为圆O的切线，PAB为割线， 2∴PC=PA?PB，即72=6PB， 解得：PB=12， ∴AB=PB﹣PA=12﹣6=6， ∴OC=3，PO=PA+AO=9， ∵△OCP∽△BDP， ∴=，即=， 则BD=4． 点评： 此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 27．（12分）（2013?内江）如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L． （1）求△ABC的面积；
（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．
考点： 相似形综合题． 分析： （1）作AH⊥BC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可以求出其值； （2）如图1，当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式，如图2，当1.5＜x＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式； （3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可以求出其值． 解答： 解：（1）如图3，作AH⊥BC于H， ∴∠AHB=90°． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=3． ∵∠AHB=90°， ∴BH=BC= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AH=． ∴S△ABC= （2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE． 作AG⊥DE于G， ∴∠AGD=90°，∠DAG=30°， ∴DG=x，AG=x， =； ∴y=∵a==x， 2＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ， ∴x=1.5时，y最大=如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G， ∵AD=x， ∴BD=DM=3﹣x， ∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3， ∴MG=（3﹣x）， ∴y==﹣ （3），如图4，∵y=﹣∴y=﹣y=﹣∵a=﹣（x﹣4x）﹣（x﹣2）+22， ； ； ， ， ＜0，开口向下， ， ∴x=2时，y最大=∵＞， ∴y最大时，x=2， ∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME． ∴DO=OE=1， ∴DM=DO． ∵∠MDO=60°， ∴△MDO是等边三角形， ∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1． ∴MO=OE，∠MOE=120°， ∴∠OME=30°， ∴∠DME=90°， ∴DE是直径， 2S⊙O=π×1=π． 点评： 本题考查了等边三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键． 28．（12分）（2013?内江）已知二次函数y=ax+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、
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B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x+4x﹣5=0的两根． （1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值； （2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．
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考点： 二次函数综合题． 分析： （1）首先解一元二次方程，求出点A、点B的坐标，得到含有字母a的抛物线的交点式；然后分别用含字母a的代数式表示出△ABC与△ACD的面积，最后得出结论； （2）在Rt△ACD中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数a，得出抛物线的解析式． 2解答： 解：（1）解方程x+4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1， 由于x1＜x2，则有x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）． 抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0）， ∴对称轴为直线x=2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a）， 令x=0，得y=﹣5a， ∴C点的坐标为（0，﹣5a）． 依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a， 过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a． S△ACD=S梯形ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC =（DE+OA）?OE﹣DE?CE﹣OA?OC =（2+5）?9a﹣×2×4a﹣×5×5a =15a， 而S△ABC=AB?OC=×6×5a=15a， ∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1； （2）如解答图所示， 在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD=DE+CE=4+16a， 2222在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC=OA+OC=25+25a， 设对称轴x=2与x轴交于点F，则AF=3， 2222在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD=AF+DF=9+81a． ∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形， 由勾股定理得：AD+CD=AC， 222即（9+81a）+（4+16a）=25+25a，化简得：a2=， ∵a＞0， ∴a=， （x+5）（x﹣1）=x+22222222∴抛物线的解析式为：y=x﹣． 点评： 本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法、直角三角形与勾股定理、几何图形面积的计算等知识点，难度不是很大，但涉及的计算较多，需要仔细认真，避免出错．注意第（1）问中求△ACD面积的方法．