刘一波高三数学复习讲义
【山东省济宁市金乡二中2012届高三11月月考文】18.（本小题满分12分）
已知直线l与函数f(x)?lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数
g(x)?12x?mx?272(m?0)的图象也相切。
（1）求直线l的方程及m的值；
（2）若h(x)?f(x?1)?g?(x)，求函数h(x)的最大值. 【答案】18. 解：（1）?f?(x)?1x ,直线l是函数f(x)?lnx的图象在点（1，0）处的切线。
?其斜率为k?f?(1)?1,?直线l的方程为y?x?1
又因为直线l与g(x)的图象相切，
?y?x?1129????x?(m?1)x??0,12722?y?x?mx?22?得??(m?1)?9?0?m??2(m?4不题意,舍去).???6分2
（2）由（1）知g(x)?,
22?h(x)?f(x?1)?g?(x)?ln(x?1)?x?2(x??1),
x?2x?1x?1?1??xx?1(x??1).
127?h?(x)?当?1?x?0时,h?(x)?0;当x?0时,h?(x)?0.
于是，h(x)在(?1,0)上单调递增,在(0,??)上单调递减。
所以，当x?0时,h(x)取得最大值h(0)?2.
【山东省济宁市金乡二中2012届高三11月月考文】20（本小题满分14分）
2010年世博会在上海召开，某商场预计2010年从1月起前x个月顾客对某种世博
商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是：P(x)?x?N*).
12x(x?1)(41?2x)(x≤12且
（Ⅰ）写出第x月的需求量f(x)的表达式； （Ⅱ）若第x月的销售量
?f(x)?21x,1?x?7且x?N*,?g(x)??x21（单位：件），每件2?x(x?10x?96),7?x?12且x?N*3?e利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)?1000ex6x?6，求该商场销售该商品，预计第
1
几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e?403)【答案】20（1）当x?1时，f(1)?P(1)?39；
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当x?2时，
f(x)?P(x)?P(x?1)?12?3x(14?x)；
x(x?1)(41?2x)?12(x?1)x(43?2x)
∴ f(x)??3x2?42x,(x?12,x?N?)
1?x?7,7?x?12,*且x?N，
?3000ex?6(7?x),?（2）h(x)?q(x)?g(x)??1000132?6(x?10x?96x),3?e?3000ex?6(6?x),1?x?7,?* h'(x)??1000且x?N；
?6(x?8)(x?12),7?x?12,?e∵当1?x?6时，h'(x)?0，∴h(x)在x?[1,6]上单调递增，
∴ 当1?x?7且x?N?时，h(x)max?h(6)?3000；
∵当7?x?8时，h'(x)?0，当8?x?12时，h'(x)?0， ∴当7?x?12且x?N?时，h(x)max?h(8)?1000?299e6?1000?299403?3000；
综上，预计第6个月的月利润达到最大，最大月利润为3000元
【山东省潍坊市2012届高三上学期期末考试文】9．函数f(x)?ex?x (e为自然对数的底数)在区间[-1，1]上的最大值是 A．1?1e B．1 C．e+1 D．e-1
【答案】D
x【山东省济南一中2012届高三10月文】5.函数y??2e?sinx ?1?a?0?的导数是 A.?2ecosx B. ?2e学,科,网] 【答案】
【山东省济南一中2012届高三10月文】15. 函数y?f?x?的导函数图象如图所示，则下面
xx?sinx?cosx? C. 2exsinx D. ?2ex?sinx?cosx?[来源:
判断正确的是
A．在??3,1?上f?x?是增函数
2
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B．在x?1处f?x?有极大值
C．在x?2处f?x?取极大值 D．在?1,3?上f?x?为减函数 【答案】C
【山东省济南一中2012届高三10月文】17. 曲线y?x2?11在点P?1,12?处的切线方程是 【答案】2x?y?10?0
【山东省济南一中2012届高三10月文】24.（14分） 设函数f(x)?ax?（Ⅰ）若f(x)在x?2时有极值，求实数a的值和f(x)的单调区间; （Ⅱ）若f(x)在定义域上是增函数,求实数a的取值范围．
【答案】24. （Ⅰ）?f(x)在x?2时有极值，?有f'?2??0， ?????? 2分 又f'?x??a??有f'?x??45ax2ax?2lnx.
?45x2x，?有a?2x25x2a4?1?0，?a?45 ????????5分
?2???2x2?5x?2?，
由f'?x??0有x1?12 , x2?2， ???7分
又x?0?x,f'?x?,f?x?关系有下表
x 0?x?12 x?12 12?x?2 x?2 x?2 f'?x? ? 0 ?[来源:学0 ? #科#网Z#X#X#K] f?x? 递增 [来源:学科网ZXXK] 递减 递增 ?f(x)的递增区间为?0,2? 和
???1??2,??? ， 递减区间为
?1??,2? ????????9分 ?2?
3
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（Ⅱ）若f(x)在定义域上是增函数,则f'?x??0在x?0时恒成立，????????10分
?f'?x??a?ax2?2x?ax?2x?ax222，?需x?0时ax2?2x?a?0恒成立，???11分
2?1，?需a?1，此为所求。????14分
化为a?2xx?12恒成立，?2xx?1?x?1x【山东省济南市2012届高三12月考】29．（本小题满分8分）设函数
y?f(x)?ax3?bx2?cx?d的图象在x?0处的切线方程为24x?y?12?0.
（Ⅰ）求c，d；
（Ⅱ）若函数在x?2处取得极值?16，试求函数解析式并确定函数的单调区间. 【答案】29．（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）f(x)的定义域为R，
f?(x)?3ax2?2bx?c，∴f?(0)?c； -----------------1分
∵切线24x?y?12?0的斜率为k??24，∴c??24； -----------------2分 把x?0代入24x?y?12?0得y?12，∴P(0,12)， -----------------3分 ∴d?12.
∴c??24，d?12. -----------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）f(x)?ax3?bx2?24x?12 由已知得：??f(2)??16?8a?4b?36??16?? www.zxxk.com
?f(2)?012a?4b?24?0???a?1∴?-----------------5分
b?3?∴f(x)?x?3x?24x?12
22∴f?(x)?3x?6x?24?3(x?2x?8)?3(x?4)(x?2) -----------------6分
32由f?(x)?0得，x??4或x?2；
由f?(x)?0得，?4?x?2； -----------------7分 ∴f(x)的单调增区间为(??,?4),(2,??)；
单调减区间为(?4,2). -----------------8分 【山东省济南市2012届高三12月考】33．（本题满分12分）已知函数
f(x)?ax
2?lnx(a?R)
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(Ⅰ)当a?2时，求f(x)在区间[e,e2]上的最大值和最小值；
(Ⅱ)如果函数g(x),f1(x),f2(x)在公共定义域D上，满足f1(x)?g(x)?f2(x)， 那么就称g(x)为f1(x),f2(x)的“伴随函数”.已知函数
f1(x)?(a?12)x?2ax?(1?a)lnx，f2(x)?2212x?2ax.若在区间(1,??)上，
2函数f(x)是f1(x),f2(x)的“伴随函数”，求a的取值范围.[来源:Z#xx#k.Com] 【答案】33．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)当a?2时，f(x)?2x?lnx，f?(x)?4x?2221x?4x?1x2； ----------1分
对于x?[e,e]，有f?(x)?0，∴f(x)在区间[e,e]上为增函数，
∴f(x)max?f(e2)?2?2e4,f(x)min?f(e)?1?2e2. -----------------3分 (Ⅱ)在区间(1,??)上，函数f(x)是f1(x),f2(x)的“伴随函数”，则f1(x)?f(x)?f2(x)，令p(x)?f(x)?f2(x)?(a?且h(x)?f1(x)?f(x)??∵p?(x)?(2a?1)x?2a?①若a?12121x122)x?2ax?lnx?0对x?(1,??)恒成立， ------4分
22x?2ax?alnx?0对x?(1,??)恒成立， ------5分 ?[(2a?1)x?1](x?1)x（*） --------------6分
，当x2?x1?1，即
12?a?1时，
，令p?(x)?0，得极值点x1?1,x2?12a?1在(x2,??)上有p?(x)?0， --------------7分 此时p(x)在区间(x2,??)上是增函数，并且在该区间上有p(x)?(p(x2),??)，不合题意；p(x)?(p(1),??)，也不合题意； -----------------8分 ②若a?，则有2a?1?0，此时在区间(1,??)上恒有p?(x)?0， 2从而p(x)在区间(1,??)上是减函数； 要使p(x)?0在此区间上恒成立，只需满足p(1)??a??12?a?1212?0?a??121，所以
. -----------------9分
a2又因为h?(x)??x?2a?数.
h(x)?h(1)??12x??x?2ax?ax1422??(x?a)x2?0,h(x)在(1,??)上是减函
?2a?0，所以a?.
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