刘一波高三数学复习讲义
（2）求函数k?x?的表达式； （3）求证：
1k(1)?1k(2)?1k(3)???1k(n)?2nn?21.
【答案】21.解：（1）k?x??1?k?1??12?ax2?bx?c，?x?k?x??2x?1?, ?2?1?1??1, ?k?1??1 ???.2分
?1b????k(?1)?0?a?b?c?0?2?????(2)?k(1)?1 ??..4分 ???a?b?c?1?a?c?1?2?k?x??x
?ax2?12x?c?x, ax2?2?12x?c?0,??14?4ac?0,?ac?116，
(a?c)又ac?411111?ac?,?ac?,?a?c?即16 1616164?k?x??1144x2?12x?14?14?x?1?2 ??.8分
(3)证明:kx??4??x?1?42 .
????2??n?1??1?111?4????????∴原式??2222222??1?1??2?1??3?1??n?1?34?244??..10分
11?1?4????4?5?2?33?4?????n?1??n?2???1
?111111?4????????233445??1n?1?1??n?2?
n2n1??1?4???4???2?n?2?n?2?2n?2? ????.12分
【山东省微山一中2012届高三10月月考数学（文）】21、（14分）已知函数
f(x)?4x?3tx?6tx?t?1,x?R，其中t?R，
322（1）当t＝1时，求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
（2）当t≠0时，求的单调区间；
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（3）证明：对任意的t?(0,??),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。
解析:（1）简单考查导数的几何意义，导数运算以及直线方程；（2）考查导数在研究函数的单调性方面的运用，分类讨论；（3）考查分类讨论，函数与方程以及函数零点的性质，是中档偏上题。
（1）当t＝1时，f(x)?4x3?3x2?6x,f(0)?0,f?(x)?12x2?6x?6,f?(0)??6,
所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y??6x.
t2（2）f?(x)?12x2?6tx?6t2,令f?(x)?0，解得x??t或x?因为t≠0，以下分两种情况讨论： ①若t?0则x f?(x) f(x) t2.
??t,当x变化时，f?(x)f(x)的变化情况如下表：
t(??,) 2(t2,?t) （－t，∞） ＋ t＋ t－ 所以，f(x)的单调递增区间是(??,)，（－t，∞）；f(x)的单调递减区间是(,?t)。
22②若t?0则?t?t2,当x变化时，f?(x)f(x)的变化情况如下表：
所以，f(x)的单调递增区间是（－∞，t），(,?)?；f(x)的单调递减区间是(?t,)。
22tt综上可得：
当t<0时，f(x)的单调递增区间是(??,)，（－t，∞）；f(x)的单调递减区间是(,?t)
22(,?)?；f(x)的单调递减区间是(?t,)。当t>0时, f(x)的单调递增区间是（－∞，t），
22tttt（3）由（2）可知，当t＞0时，f(x)在(0,)内的单调递减，在(,??)内单调递增，
22tt以下分两种情况讨论：
①当
t2?1即t?2时，f(x)在（0，1）内单调递减，
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f(0)?t?1?0,f(1)??6t?4t?3??6?4?4?2?3?0.
2所以对任意t?[2,??],f(x)在区间（0，1）内均存在零点。 ②当0?t2?1即0?t?2时，f(x)在(0,t2)内的单调递减，在(t2,1)内单调递增，
17373若t?(0,1],f()??t?1?1??t?0,244f(1)??6t?4t?3??6t?4t?3??2t?3?0,t所以f(x)在(,1)内存在零点.217373若t?(1,2),f()??t?(t?1)??t?1?0,f(0)?t?1?0,244t所以f(x)在(0,)内存在零点.2【山东省微山一中2012届高三10月月考数学（文）】4．曲线y?x2?11在点P（1，12）处
2
的切线与y轴交点的纵坐标是 （ ） A．-10 B．－3 C．10 【答案】C 解析:y'x?1D．15
?2,所以在点P（1，12）处的切线为y?12?2(x?1),即2x?y?10?0,令x=0
得:x=10,简单考查导数运算以及几何意义,直线方程,是简单题.
【山东省潍坊市三县2012届高三12月联考文】20. 设函数f(x)?x?ax2?blnx，曲线
，且在P点处的切斜线率为2． y?f(x)过P（1,0）
（I）求a，b的值；（II）证明：f(x)?2x?2．
f?(x)?1?2ax?b【答案】20. （I）
.x
?f(1)?0,?1?a?0,即???f(1)?2.?1?2a?b?2.，解得a??1,b?3. 由已知条件得? （II）
设
f(x)的定义域为(0,??)，由（I）知
2f(x)?x?x?3lnx.2
g(x)?f(x)?(2x?2)?2?x?x?3lnx,3x??(x?1)(2x?3)x.则
g?(x)?1??2x?[来源:Z。xx。k.Com]
当0?x?1时,g?(x)?0;当x?1时,g?(x)?0.所以g(x)在(0,1)单调增加,在(1,??)单调减少.而
g(1)?0,故当x?0时,g(x)?0,即f(x)?2x?2.
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