刘一波高三数学复习讲义
综合可知a的取值范围是[?另解：（接在（*）号后） 先考虑h(x)， h?(x)??x?2a?a211,]. -----------------10分 24x??(x?a)x2?0，--------------8分
12?2a?0，解得a?1414h(x)在(1,??)上递减，只要h(1)?0，即?.-----------7分
而p?(x)?(x?1)[(2a?1)x?1]x12对x?(1,??)，且a?12有p?(x)?0. --------8分
12?a?14只要p(1)?0，即a?即a的取值范围是[??2a?0，解得a??，所以?，--------9分
11,]. -----------------10分 24【山东省济南市2012届高三12月考】7．f(x)?ax3?3x2?2,若f?(?1)?4,则a=
A．
193 B．
163 C．
133 D．
103
【答案】D
【山东省济南市2012届高三12月考】17．定义在R上的函数f(x)满足f(4)?1，f?(x)为f(x)的导函数，已知y?f?(x)的图象如图所示，若两个正数a，b满足f(2a?b)?1，则
b?2a?2的取值范围是
111
A．(,) B．(??,)?(3,??)
322 C．(,3) D．(??,3)
21【答案】C
6
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【山东省济南外国语学校2012届高三9月质量检测】11.已知f?(x)是函数f(x)的导数，y=f?(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是下图中 （ ）
【答案】B
【山东省济南外国语学校2012届高三9月质量检测】22．（12分）已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围； 1
(2)若x＝－是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值；
3
(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由． 【答案】22.【解】 (1)f′(x)＝3x2－2ax－3. ∵f(x)在[1，＋∞)是增函数，
∴f′(x)在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，即 3x2－2ax－3≥0在[1，＋∞)上恒成立，
则必有≤1且f′(1)＝－2a≥0.∴a≤0. ???4分
31
(2)依题意，f′(－)＝0，
312
即＋a－3＝0. 33
∴a＝4，∴f(x)＝x－4x－3x. 令f′(x)＝3x2－8x－3＝0， 1
得x1＝－，x2＝3.
3
7
3
2
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则当x变化时，f′(x)与f(x)变化情况如下表 x f′(x) f(x) 1 － 6 (1,3) － ? 3 0 －18 (3,4) ＋ ? 4 －12 ∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)＝－6. ???8分
(3)函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x3－4x2－3x＝bx恰有3个不等实根． 32∴x－4x－3x－bx＝0， ∴x＝0是其中一个根，
∴方程x2－4x－3－b＝0有两个非零不等实根． ∴?
??Δ＝16＋4(3＋b)＞0??－3－b≠0
∴b＞－7且b≠－3.[来源:Z.xx.k.Com]
∴存在满足条件的b值，b的取值范围是b>－7且b≠－3. ???12分
【山东省济宁市重点中学2012届高三上学期期中文】4．函数y?xcosx?sinx的一个递增区间是（ ）
?3?3?5? A.(, C.(,) B.(?,2?) ) D.(2?,3?)
2222【答案】B
【山东省济宁市重点中学2012届高三上学期期中文】10.函数f(x)?3?xlnx的单调递减区间是（ ）
A．(–∞，) B．(0,e1111) C．(,??) D．(,e)
eee【答案】B
【山东省济宁市重点中学2012届高三上学期期中文】20.（本小题满分12分）已知
f(x)?lnx?ax?2. g(x)?lnx?2x
（Ⅰ）求f(x)的单调区间;
（Ⅱ）试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y?g(x)相切？请说明理由。 【答案】20.解： （1）f?(x)?x?ax2(x?0) ????????1分
（ⅰ）当a?0时，?f?(x)?0?f(x)在(0,??)上单调递增 ??????3分 （ⅱ）当a?0时，若0?x?a,则f?(x)?0；若x?a,则f?(x)?0?f(x)在?0,a?上单调
递减，在(a,??)上单调递增 ????????5分
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（2）设切点为?x0,lnx0?2x0??g?(x)??切线方程为：y??lnx0?2x0??(1x01x?2 ??????6分
?2)(x?x0)
1x0?2)(2?x0)
?切线过点（2，5）?5??lnx0?2x0??(即x0lnx0?2x0?2?0??（＊） ????????8分 令?(x)?xlnx?2x?2，??(x)?lnx?1 ??????9分 ?当0?x?e时，??(x)?0；当x?e时， ??(x)?0
??(x)在?0,e?上单调递减，在(e,??)上单调递增 ????????10分
又??(e)??e?2?0,?()?e12e?3e?1?2?0,?(e)?2?0??(x)?0在?,e2?上有两个零
?e?点，即方程（＊）在?0,???上有两个根
?过点?2,5?可作两条直线与曲线y?g(x)相切． ????????12分
【山东省济宁市重点中学2012届高三上学期期中文】21. （本小题满分12分）已知函数
f(x)?xex,g(x)?(2?x)ee2x.
（Ⅰ） 求函数f(x)的极值；
（Ⅱ） 求证：当x?1时，f(x)?g(x);
（Ⅲ） 如果x1?x2，且f(x1)?f(x2)，求证：f(x1)?f(2?x2). 【答案】21.解：⑴∵f(x)=分）
令f?(x)=0，解得x?1．
x f?(x) f(x) xex，∴f?(x)=
1?xex． （2
(??,1) 1 0 极大值1e(1,??) ＋ ↗ － ↘ （3分） ∴当x?1时，f(x)取得极大值f(1)=⑵证明：令F(x)?f(x)?g(x)?F?(x)=
1e． （4分） (2?x)ee2x2xxex2?,则
1?xex?e(1?x)e2x?(1?x)(e?e)ex?22． （6分）
2x当x?1时，1?x＜0，2x＞2，从而e?e∴F?(x)＞0，F(x)在(1,??)是增函数．
＜0，
9
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?0,故当x?1时,f(x)?g(x). （8分） e⑶证明：∵f(x)在(??,1)内是增函数，在(1,??)内是减函数．
∴F(x)?F(1)?1e?1∴当x1?x2，且f(x1)?f(x2)时，x1、x2不可能在同一单调区间内． ∴x1?1?x2，
由⑵的结论知x?1时，F(x)?f(x)?g(x)＞0，∴f(x2)?g(x2)． ∵f(x1)?f(x2)，∴f(x1)?g(x2)．
又g(x2)?f(2?x2)，∴f(x1)?f(2?x2). （12分） 【山东省济宁一中2012届高三第三次定时检测文】10．函数y?f(x)的图象过原点且它的
导函数y?f'(x)的图象是如图 所示的一条直线，则y?f(x)图象的顶点在 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A
【山东省莱州一中2012届高三第二次质量检测】22.（本小题满分14分） 设函数f(x)?13x?ax?ax,g(x)?2x?4x?c.
322（1） 试问函数f(x)能否在x??1时取得极值？说明理由；
（2） 若a=-1，当x?[?3,4]时，函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，求c的取值范围. 【答案】22.解：（1）由题意f'(x)?x2?2ax?a，
假设在x??1时f(x)取得极值，则有f'(?1)?1?2a?a?0,?a??1??????4分
而此时，f'(x)?x2?2x?1?(x?1)2?0，函数f(x)在R上为增函数，无极值.
这与f(x)在x=-1有极值矛盾，所以f(x)在x=-1处无极值.????????6分 （2）设f(x)?g(x)，则有设F(x)?133213x?x?3x?c?0,?c?3213x?x?3x32
?3.?8
x?x?3x,G(x)?c，令F'(x)?x?2x?3?02.解得x1??1或x(3,4) + 增 ?分
列表如下： X -3 (-3,-1) F'(x) + F(x) -9 增 -1 0 53(-1,3) - 减 3 0 -9 4 203 由此可知：F(x)在（-3，-1）、（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数。??10分
当x=-1时，F(x)取得极大值F（-1）=；当x=3时，F（X）取得极小值
35F（-3）=F（3）=-9，而F（4）=-
203. ???????12分
如果函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点。 所以?
203?c?53或c??9.????????????????????14分
10