点评：本题在四棱锥中证明线面平行、线线垂直．着重考查了三角形中位线定理、空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
17．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB=3米，AD=2米． （I）设AN=x（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围； （Ⅱ）若x∈[3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．
考点：函数模型的选择与应用． 专题：应用题．
分析：先由相似性表示AM，建立四边形AMPN的面积模型，（I）解关于x的不等式； （II）先对面积函数模型求导，用导数法求最值．
解答： 解：由于，则AM=
故SAMPN=AN?AM=
（1）由SAMPN＞32得
2
＞32，
因为x＞2，所以3x﹣32x+64＞0，即（3x﹣8）（x﹣8）＞0 从而
即AN长的取值范围是
（2）令y=，则y′=
因为当x∈[3，4）时，y′＜0，所以函数y=在[3，4）上为单调递减函数，
从而当x=3时y=取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，
此时AN=3米，AM=9米 点评：本题主要考查用相似性构建边的关系，建立平面图形面积函数模型及导数法解模求最值的能力．
18．（16分）已知椭圆
的离心率为
，且过点
，记
椭圆的左顶点为A． （1）求椭圆的方程；
（2）设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；
（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2=2，求证：直线DE恒过一个定点．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）根据椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（），建立方程，
求出几何量，从而可得椭圆C的方程；
（2）设B（m，n），C（﹣m，n），则S△ABC=×2|m|×|n|=|m|?|n|，利用基本不等式可求△ABC面积的最大值；
（3）设AB、AC的方程，代入椭圆方程可求B、C的坐标，从而可得直线BC的方程，整理并令y=0，即可证得直线BC恒过定点． 解答： （1）解：∵椭圆
的离心率为
，且过点
，
∴，解得，
所以椭圆C的方程为x+2y=1…4分
（2）解：设B（m，n），C（﹣m，n），则S△ABC=×2|m|×|n|=|m|?|n|，…6分 又号…8分 从而S△ABC≤
，即△ABC面积的最大值为
…9分
|m|?|n|，所以|m|?|n|
，当且仅当
时取等
22
（3）证明：因为A（﹣1，0），所以AD：y=k1（x+1），AE：y=k2（x+1）， 由
，消去y，得
，解得x=﹣1或
x=，
∴
同理E（）
∵k1k2=2，∴
…12分
∴直线DE的方程为，
即y﹣，即
y=
所以2k1y+4y﹣（3x+5）k1=0 则由
2
…14分
，得直线DE恒过定点…16分．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查直线恒过定点，属于中档题． 19．（16分）已知函数
（1）求证：函数f（x）在点（e，f（e））处的切线横过定点，并求出定点的坐标； （2）若f（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围； （3）当
时，求证：在区间（1，+∞）上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函
数g（x）有无穷多个．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题：综合题．
分析：（1）先求出导数处的切线的斜率为（2）先令
，根据导数的几何意义得出f（x）在点（e，f（e））
，从而写出切线方程得出切线恒过定点；
＜0，对x∈（1，+∞）
恒成立，
利用导数求出p（x）在区间（1，+∞）上是减函数，从而得出：要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足（3）当记
时，
，由此解得a的范围即可．
．
．利用导数研究它的单调性，
得出y=f2（x）﹣f1（x）在（1，+∞）上为增函数，最后得到满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个． 解答： 解：（1）因为为
，
，
．
＜0，对x∈（1，+∞）恒
，所以f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率
所以f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为整理得（2）令成立，
，所以切线恒过定点
因为
（*）
令p'（x）=0，得极值点x1=1，①当
时，有x2＞x1=1，即
，
时，在（x2，+∞）上有p'（x）＞0，
此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；
②当a≥1时，有x2＜x1=1，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意； ③当
时，有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p'（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数； 要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足所以
．
．
．
，
综上可知a的范围是（3）当记
时，
因为所以
，所以y=f2（x）﹣f1（x）在（1，+∞）上为增函数，
，设
，则f1（x）＜R（x）＜f2（x），
所以在区间（1，+∞）上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个． 点评：本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、导函数的正负与原函数的单调性之间的关系等，注意应用导数的性质：当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
20．（16分）已知数列{an}是首项数t∈N，数列{cn}满足cn=anbn． （1）求证：{bn}是等差数列；
*
，公比
的等比数列，设bn+15log3an=t，常