第10讲 直线与双曲线、抛
物线的位置关系 满分晋级
解析几何13级 直线与圆
解析几何12级 直线与双曲线、抛物线的
位置关系
解析几何11级 双曲线、抛物线基本量问
题的典型考法
新课标剖析
当前形势 高考 要求
双曲线与抛物线在近五年北京卷(文)考查5～14分
内容
要求层次 A
B
C √
具体要求
直线与圆锥曲线的位置关系
北京 高考 解读
2009年 第19题14分
判别式和韦达定理的应用；直线与椭圆相交截得的弦长
2011年（新课标） 第10题5分
2013年（新课标）
第7题5分 第9题5分
2010年（新课标） 第13题5分
<教师备案> 在直线与椭圆的位置关系一讲，我们处理了交点个数问题、弦长问题、面积问题、共线问
题与垂直条件转化等基本问题．直线与圆锥曲线的位置关系对于椭圆、双曲线与抛物线来
第10讲·尖子-目标·教师版
1
讲是基本一致的，处理的手段也基本一致，因为我们较少研究圆锥曲线的性质，所以基本都是通过代数手段：即联立后分析方程及利用韦达定理处理的．
但细节上，对于不同的圆锥曲线还是有些小的区别，双曲线有两支，不像椭圆一样是封闭图形，而且有渐近线，所以研究直线与双曲线的位置关系与直线与圆锥的位置关系有一些小的区别．
而抛物线的方程相对简单，抛物线里面有更多的几何性质比较容易研究，所以在直线与抛物线的位置关系中，我们会研究更多的抛物线的焦点弦的性质与其它几何性质，也会补充一种常见的问题，如中垂线问题的转化、向量共线问题的转化等．对于过x轴上的直线的设法与两条相关直线的设法等基本方法也会在例题中体现．
10.1直线与双曲线的位置关系
考点1：直线与双曲线的交点个数与位置
暑假知识回顾
xy2直线l：y?kx?m与双曲线2?2?1(a?0，b?0)的位置关系（斜率不存在时，单独讨论）：
ab方法一：代数计算
?y?kx?m?联立消元?x2y2?(b2?a2k2)x2?2kma2x?a2(b2?m2)?0 （*）．
?2?2?1b?ab当b2?a2k2?0，即k??时，
a直线l与渐近线平行或重合，此时它与双曲线有一个公共点或零个公共点；
当b2?a2k2?0时，判别式??4a2b2(m2?b2?a2k2)，根据判别式可得到公共点个数．
方法二：几何图形
画出双曲线与直线的草图，根据直线与双曲线的渐近线的位置关系与双曲线的性质直接得到公共点个数，只能进行定性判断．
<教师备案> 我们在暑假预习时研究过直线与双曲线的交点个数问题，这里先进行一些回顾与总结．预
习时，我们只对这类问题进行过定性判断，即结合图形判断交点个数，没有进行定量计算，例1对这些问题进行了定量的研究（预习时，在目标班学案中进行了部分研究）．当然除了边界需要通过代数计算确定，大致范围仍然可以借助几何图形得到． 2
第10讲·尖子-目标·教师版
2
y2练习1：已知双曲线C:x??1，过点P(1，2)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述
4条件的直线l共有（ ）
A．3条 B．4条 C．1条 D．2条
2【解析】 D
因为双曲线的渐近线为y??2x，点P在渐近线上，所以满足要求的直线只有两条．
经典精讲
【铺垫】已知双曲线x?y?4，直线l:y?k(x?1)，试讨论实数k的取值范围．
⑴直线l与双曲线有两个公共点；
⑵直线l与双曲线有且只有一个公共点； ⑶直线l与双曲线没有公共点．
22【解析】 要研究直线与双曲线的交点个数，通常需要联立直线与双曲线组成方程组，对方程解的个数
?x2?y2?4，进行讨论．由?消去y得(1?k2)x2?2k2x?k2?4?0．（*）
?y?k(x?1)，当1?k2?0，即k??1时，直线l与双曲线渐近线平行，方程（*）化为2x?5，故此方程（*）只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．
当1?k2≠?，即k≠?1时，??(2k2)2?4(1?k2)(?k2?4)?4(4?3k2)．
?4?3k2?02323???k?①?，即，且k≠?1时，方程（*）有两个不同的实数解，即直线233??1?k≠0与双曲线有两个公共点．
?4?3k2?023?k??②?，即时，方程（*）有两个相同的实数解，即直线与双曲线有一个公231?k≠0??共点．
2?2323?4?3k?0k?k??③?，即或时，方程（*）无实数解，即直线与双曲线无公共点． 2331?k≠0??综上所述，
2323?k??1或?1?k?1或1?k?时，直线与双曲线有两个公共点； 3323当k??1或k??时，直线与双曲线有且只有一个公共点；
32323当k??或k?时，直线与双曲线无公共点．
33当?
【例1】
已知双曲线x2?y2?4，直线l：y?kx?1，试讨论实数k的取值范围： ⑴直线l与双曲线有两个公共点；
⑵直线l与双曲线的两支各有一个公共点； ⑶直线l与双曲线的右支有两个公共点； ⑷直线l与双曲线的两支有两个公共点．
第10讲·尖子-目标·教师版
3
【解析】 将直线y?kx?1与双曲线x2?y2?4，化简整理得(1?k2)x2?2kx?5?0 （*）
⑴ 当1?k2?0，且??4k2?20(1?k2)?20?16k2?0，直线与双曲线有两个公共点， 解得?55?k?； 22在方程（*）有两根的情况下，记两根为x1，x2，则x1?x2?⑵ 对应方程有一正根一负根，只需x1x2?2k5，， xx?12k2?1k2?1?51)． ?0，解得k的取值范围为(?1，1?k2⑶ 对应方程有两个不同的正根，有??4k2?20(1?k2)?0，且x1?x2?0，x1x2?0，
解得：1?k?5． 2⑷ 对应方程有两个不同的正根或两个不同的负根，有??4k2?20(1?k2)?0，且x1x2?0，
???55?解得k的取值范围为??，?11，????2???． 2????
尖子班学案1
【拓2】已知直线y?kx?1与双曲线x2?y2?4，记双曲线的右顶点为A，是否存在实数k，使得直线
与双曲线的右支交于P，Q两点，且PA?QA?0，若存在，求出k值：若不存在，请说明理由．
【解析】 将直线y?kx?1代入双曲线方程，整理得：(1?k2)x2?2kx?5?0，
2k?50)，于是有x1?x2??y2)，A(2，y1)，Q(x2，设P(x1，，， xx?121?k21?k2又直线与双曲线交于右支上两点，
故有??4k2?20(1?k2)?0，且x1?x2?0，x1x2?0，解得：1?k?5． 2PA?QA?(2?x1，?y1)?(2?x2，?y2)?0， y1y2?(kx1?1)(kx2?1)?k2x1x2?k(x1?x2)?1，
于是有(2?x1)(2?x2)?y1y2?4?2(x1?x2)?x1x2?y1y2?(k2?1)x1x2?(k?2)(x1?x2)?5?0， ?5(k2?1)1?2k?k?0?(k?2)??5?0即，解得或， k??2?1?k22?1?k?故不满足情况，故实数k不存在．
目标班学案1
B，f(k)是弦长AB关于k 【拓3】若直线y?kx?1与双曲线x2?y2?4的右支有两个相异公共点A，的函数，
⑴求f(k)并指出函数的定义域；⑵若已知k?17，求f(k)的值域． 4【解析】 ⑴ 将直线y?kx?1与双曲线x2?y2?4联立，化简整理得(1?k2)x2?2kx?5?0（?）
4
第10讲·尖子-目标·教师版
设A(x1，y2)，则x1?x2?y1)，B(x2，?2k?5， ，xx?121?k21?k21?k2(1?k2)(5?4k2)=2，
(1?k2)2f(k)?1?kx1?x2=(1?k)?22(2k)2?4?5(1?k2)要使直线与双曲线右支有两个相异公共点，
应满足（?）式中??4k2?20(1?k2)?0，且x1?x2?0，x1x2?0， 解得：1?k?2?55?，即函数f(k)的定义域为?1，?；
?22???2(1?1?t)(5?4?4t)?17?81⑵ 令t?1?k，则f(k)?2?22????，
t28?t4??171?5?1?1t???，??，于是?(?16，时，k??，?4)， ??4?4162t????于是f(k)的值域为(0，1211)．
考点2：双曲线的弦长问题
知识点睛
⑴弦长公式：
yM)，N(xN，yN)， 对于直线MN：y?kx?b，点M(xM，MN?1?k2xM?xN?1?1yM?yN； k2⑵两根差公式：
xN满足一元二次方程：ax2?bx?c?0， 如果xM，cb2?4ac??b?2则xM?xN?(xM?xN)?4xMxN?????4??(??0)． ?aaaa??
<教师备案> 暑假预习时是以抛物线中的弦长问题为重点讲解的，没有涉及到双曲线中的弦长问题，但
22b2因为处理思路都是完全一致的．预习时，还提到了双曲线的通径，双曲线的通径长为，
a它是同支的焦点弦中的最短弦．简单证明如下：
x2y2双曲线2?2?1(a?0，b?0)，
ab0)的直线l交双曲线于A、B两点， 考虑过它的右焦点F(c，?y?k(x?c)2b2若l是通径，易求得AB?；若l不是通径，设l：y?k(x?c)，联立?22， 2222abx?ay?ab??(b2?a2k2)x2?2a2k2cx?a2(b2?k2c2)?0，
第10讲·尖子-目标·教师版
5