【解析】 设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为AB不垂直于x轴，AB不可能平行于x轴，
y4?x0故直线MN的斜率为0，直线AB的斜率为，
x0?4y0法一：
直线AB的方程为y?y0?4?x0(x?x0)， y04?x0?y?y?(x?x0),0?y0联立方程? ?y2?4x,?x?4y0?2?x0(x0?4)?0，所以y1?y2?消去x得?1?0?y2?y0y?y0，
44?x??02y0y?y2?y0， 因为N为AB中点，所以1?y0，即
4?x02所以x0?2．即线段AB中点的横坐标为定值2． 法二：
2??y1?4x1点A，B在抛物线上，故?2，两式相减得(y1?y2)(y1?y2)?4(x1?x2)．
y?4x??22y?y24?x044??故有kAB?1，即， x1?x2y1?y2y02y0解得x0?2，即线段AB中点的横坐标为定值2．
考点7：直线与抛物线综合
<教师备案> 例7是一道直线与抛物线的综合题，抛物线的切线问题也是一个常考查的问题，有一些很
好的性质，但在介绍完导数后再处理会更容易一些．这里选择了一道与切线相关的问题先了解一下．
经典精讲
B两点，M是线段AB的中点，过M作【例7】 已知抛物线C：y?2x2，直线y?kx?2交C于A，x轴的垂线交C于点N．
⑴ 证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
⑵ 是否存在实数k使NA?NB?0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 【解析】 法一：
16 第10讲·尖子-目标·教师版
x?2代入y?2x2，⑴ 如图，设A(x1，把y?k 2x12)，B(x2，2x22)，
k得2x2?kx?2?0，由韦达定理得x1?x2?，x1x2??1，
2?kk2?x1?x2k∴xN?xM??，∴N点的坐标为?，?．
24?48?yAM2B1NO1xk2k???m?x??， 设抛物线在点N处的切线l的方程为y?84??mkk2将y?2x代入上式，得2x?mx???0，
48∵直线l与抛物线C相切，
22?mkk2?∴??m?8????m2?2mk?k2?(m?k)2?0，∴m?k，
8??42即l∥AB． ⑵ 法一：
假设存在实数k，使NA?NB?0，则NA?NB，
1又∵M是AB的中点，∴|MN|?|AB|．
2?k21?k2111?2． 由⑴知yM?(y1?y2)?(kx1?2?kx2?2)?[k(x1?x2)?4]???4??2?24222?k2k2k2?16∵MN?x轴，∴|MN|?|yM?yN|??2??．
488又|AB|?1?k2?k2?162， ?1?k?a2k2?1612∴?k?1?k2?16，解得k??2．
84即存在k??2，使得NA?NB?0．
法二：
假设存在实数k，使NA?NB?0．
??kk2?kk2?222x1??，NB??x2?，2x2??，则 由⑴知NA??x1?，4848????k??k??2k2??2k2??NA?NB??x1???x2????2x1???2x2??
4??4??8??8???2k2??2k2??k??k?k??k??k??k??????x1???x2???4?x1???x2????x1???x2????1?4?x1???x2???
4??4?16??16??4??4??4??4??????kk2??k2???x1x2??x1?x2?????1?4x1x2?k(x1?x2)??
416??4???kkk2??kk2??k2??3????1??????1?4?(?1)?k??????1????3?k2??0，
4216??24??16??4??3k2∵?1??0，∴?3?k2?0，解得k??2．
416第10讲·尖子-目标·教师版
17
即存在k??2，使得NA?NB?0．
目标班学案3
【拓3】若曲线C：y?2x2上存在关于直线l：y?kx?2对称的两点，求k的取值范围． 【解析】 已知，k?0．
1设直线l的垂线为l?：y??x?b．
k1代入y?2x2，可得2x2?x?b?0 （*）
k若存在两点D?x3，y3?，E?x4，y4?关于直线l对称，
x3?x4y?y411??，3?2?b， 24k24k1y?y4?71?1??x?xl?b?k??2又?34，3在直线上，所以，得． b?????2?4k244k2?2?4k?则
由方程（*）有两个不等实根，
12?1?所以?????8b?0，即2?14?2?0
kk?k?所以
0)，0)和N(5，M||?PN|6?，⑴ 已知两点M(?5，若直线上存在点P，使|P则称该直线为“B4型直线”．给出下列直线：①y?x?1；②y?2；③y?x；④y?2x?1，y3D其中为“B型直线”的是（ ）
A．①③ B．①② C．③④ D．①④ p?p2?2⑵ 如图抛物线C1：y?2px和圆C2：?x???y?，其中p?0，2?4?22214141k??k?，解得或． ?141414k2COx直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A,B,C,D四点，则AB?CD的值为（ ）
p2p2p2A． B． C． D．p2
432【解析】 ⑴ B
由|PM|?|PN|?6，可得点P的轨迹是以点M、N为焦点
BAyx2y2的双曲线的右半支，其方程为??1(x≥3)，其两条渐
9164近线方程为y??x．由题意知“B型直线”即为与双曲线右
318 第10讲·尖子-目标·教师版
y=2Oy=x+1x
半支有公共点的直线，作图可得仅直线y?2与直线y?x?1与其有交点，故应选B． ⑵ A；
ppp?xA???xA，同理CD?xD，结合图象知222p??AB?CD?AB?CD?xAxD，当直线AD的斜率存在时，可设其方程为y?k?x??，代入
2??122p22222于是知xAxD?，即为所求；当直线ADy?2px消去y得kx?(k?2)px?kp?0，
44p
的斜率不存在时，直线的方程为x?，于是分别联立直线与圆及抛物线的方程可解得
2
p??pp?ppp2?p??p?p?A?,?p?,B?,??,C?,?,D?,p?．也有AB?CD???． 222222224????????p2p
故AB?CD?．当然，作为选择题，可以直接取特殊直线x?得到答案．
24记抛物线的焦点为F，则AB?AF?
实战演练
x2y2b?0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支【演练1】斜率为2的直线l过双曲线2?2?1(a?0，ab分别相交，则双曲线的离心率的取值范围是_______．
?? 【解析】 5，
??bbb由例题知，直线l与双曲线的两支分别相交，满足??2?（其中?为双曲线的两条渐近
aaabc2?a2?e2?1?2，解得e?5． 线的斜率），即?2aa即双曲线的离心率的取值范围是
?5，??．
?x2【演练2】过双曲线?y2?1的右焦点作直线l，交双曲线于A，B两点，若AB?5，则这样的直线
4l有____条．
【解析】 4．
2b2双曲线的通径长为?1，两顶点间的距离为4，5?4，且5?1，故有四条．
a
【演练3】过点(0，?2)的直线与抛物线y2?8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，
则|AB|等于（ ）
第10讲·尖子-目标·教师版
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A．217 B．17 C．215 D．15 【解析】 C
设直线方程为y?kx?2，A(x1，y1)、B(x2，y2)．
?y?kx?2，由?2得k2x2?4(k?2)x?4?0， ?y?8x，∵直线与抛物线交于A、B两点，∴??16(k?2)2?16k2?0，即k??1． x?x2(k?2)4又12?．∴x1x2?2?1， ?2，∴k?2或k??1（舍）22kk∴|AB|?1?k2|x1?x2|?1?22?(x1?x2)2?4x1x2?5?(42?4)?215．
【演练4】设坐标原点为O，抛物线y2?2x与过焦点的直线交于A，B两点，则OA?OB?（ ）
33A． B．? C．3 D．?3
44【解析】 B
1?1?抛物线y2?2x的焦点为?，0?，设直线AB的方程为x?ky?．
2?2????4k2?4?0，?y2?2x，??消去x?y2?2ky?1?0??y1?y2?2k， ?1????x?ky??yy??1.?2?121??1?1111?x1x2??ky1???ky2???k2y1y2?k(y1?y2)???k2?k2??．
2??2?2444?13设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OA?OB?x1x2?y1y2??1??．
44
【演练5】过y2?x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，如
图，求证：直线BC的斜率是定值． 【解析】 法一：
设AB的斜率为k，则AC的斜率为?k． AB:y?2?k(x?4)，与y2?x联立得
OBCxyAy?2?k(y2?4)，即ky2?y?4k?2?0．
∵y?2是此方程的一解，
?4k?21?2k∴2yB?，yB?，
kk?1?4k?4k21?2k?1?4k?4k22，，∴B?xB?yB??． 22kkk??∵kAC?1?4k?4k21?2k???k，以?k代替k代入B点坐标得C?，?， 2k?k??20 第10讲·尖子-目标·教师版