p??设直线方程为y?k?x??，(k≠0)．
2???p??y?kx????2?消去x得ky2?2py?kp2?0 ① 由???y2?2px?(y1?y2)2p22?∴y1?y2??p，x1?x2?． 4p24p
当k不存在时，直线方程为x?，
2
p22这时y1?p，y2??p，则y1?y2??p，x1?x2?．
4p22因此，总有y1?y2??p，x1?x2?成立．
4p② 由抛物线定义：|AF|等于点A到准线x??的距离．
2pp∴|AF|?x1?，同理：|BF|?x2?．
22∴|AB|?|AF|?|BF|?x1?x2?p． ②
p?1p1?又∵y?k?x??，∴x?y?，∴x1?x2?(y1?y2)?p
2?k2k?2p2p由方程①知：y1?y2?．∴x1?x2?2?p ③
kk2p1?1?2p???将③代入②得|AB|?2?2p?2p?1?2??2p?1? ?22kktan?sin?????π2p当k不存在时，??，|AB|?2p?2．
sin?2
③ 如图，S△AOB?S△AOF?S△BOF
11?|OF|?|AF|?sin(π??)?|OF|?|BF|?sin? 2211?|OF|?sin??(|AF|?|BF|)??|OF|?|AB|?sin? 2221p2pp． ???2?sin??22sin?2sin?x1?x2?p1111????④ ， |AF||BF|x?px?ppp2x1x2?(x1?x2)?122224112p2??． 又∵x1?x2?，代入上式得
|AF||BF|p4⑤ 设AF的中点为E(xE，yE)，
px1?2?x1?p，AF?x?p， 则xE?122421故点E到y轴的距离dE?y?AF，故以AF为直径的圆与y轴相切．
211
第10讲·尖子-目标·教师版
⑥ 设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A、M、B作准线的垂线，垂足为C、N、D，
111则|MN|?(|AC|?|BD|)?(|AF|?|BF|)?|AB|．
222∴以AB为直径的圆与准线相切． ?p??p?（x1，y1)，D??，y2?，∵OD???，y2?， ⑦ 由题意，A?2??2??y12?OA?(x1，y1)??，y1?，结合y1y2??p2，有
?2p??p?p2?p2?y12p2OD???，?，y1???2OA，∴OD∥OA， ???2?2yy2py1??1?1?又OD与OA都经过同一点O， ∴A、O、D三点共线．
经典精讲
提高班学案2
【铺1】⑴ 过抛物线y2?4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1?x2?6，则
AB的值等于 ．
⑵ 抛物线y2?2px与直线ax?y?4?0交于两点A、B，其中点A的坐标是(1，2)，设抛物 线的焦点F，则FA?FB? ．
【解析】 ⑴ 8；AB=x1?x2?p?6?2?8．
⑵ 7；
将A(1，2)代入抛物线y2?2px，得2p?4，∴y2?4x． 又把A(1，2)代入ax?y?4?0得a?2，?直线方程y??2x?4． ?y2?4x由?得x2?5x?4?0，?xA?xB?5， ?y??2x?4∴FA?FB?xA?xB?p?5?2?7．
【例4】
以抛物线y2?2px（p?0）的焦点弦AB为直径的圆与准线切于点(?2，?3)， ⑴求这个圆的方程； ⑵求△AOB的面积．
p【解析】 由抛物线的方程知其准线为x??，设焦点弦AB的中点为M(x0，y0)，
2?p????2由以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切于点(?2，?3)，可知?2，
??y0??312 第10讲·尖子-目标·教师版
?p?4，所以焦点为F(2，0)． ??y??3?0⑴ 设AB所在的直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB：y?k(x?2)， ?y?k(x?2)与抛物线方程联立：?2?ky2?8y?16k?0，
?y?8x8由韦达定理y1?y2??2y0??6，y1y2??16，
k448?k??，AB:y??x?．
33325?17?将y0??3代入，得圆的圆心为?，?3?，圆的半径为，
4?4?17?625?故所求圆的方程为?x???(y?3)2?．
4?16?11⑵S?AOB?S?AOF?S?BOF?OF?y1?y2??2(y1?y2)2?4y1y2?10．
222
考点5：两条相关直线与抛物线相交的问题
<教师备案> 直线与抛物线相交的问题相对比较容易处理，直线与抛物线联立的消元一般都是消去一次
项，这样计算量会大大减少，例5也是抛物线的一个性质，通过这道题考查两条相关直线（倾斜角互补、垂直等）的直线如何设立方程减少计算，强化如何转化垂直的条件，这在椭圆中已经介绍过．老师可以用第⑴题来讲方法，让学生类推去做第⑵题．
经典精讲
【例5】 ⑴从抛物线y?2px(p?0)上的一个定点A引两条倾斜角互补的弦AP，AQ，则直线PQ
的斜率为定值． ⑵抛物线y2?2px(p?0)的弦PQ的端点与顶点O的连线成直角时，直线PQ过定点
2(2p，0)；反之，抛物线y2?2px(p?0)的弦PQ过定点(2p，0)时，有OP?OQ．
【解析】 ⑴若定点A为顶点，则直线PQ垂直于x轴；
b)在抛物线上且不是顶点，设直线AP的方程是x?a?k(y?b)(k?0)， 若定点A(a，?x?a?k(y?b)由?2得：y2?2pky?2pkb?2pa?0， ?y?2px由于b2?2pa，
13
第10讲·尖子-目标·教师版
故y2?2pky?2pkb?2pa?y2?2pky?2pkb?b2
?(y2?b2)?2pk(y?b)?(y?b)(y?2pk?b)?0，
从而yP?2pk?b．同样yQ??2pk?b， 直线PQ的斜率是
yQ?yPxQ?xP?yQ?yP2yP?2p2p2yQ?2ppp??，因此直线PQ的斜率为定值?．
yQ?yPbb2p?x???y?kx?Pk2OP⑵直线的方程是y?kx(k?0)，由?2得：?，
2py?2px??y?P?k?2?1?xQ?2pk∵OP?OQ，∴直线OQ的方程为y??x，同理有?．
k??yQ??2pkyQ?yPyQ?yP2pkPQ???直线的斜率是， 22yQxQ?xPyQ?yP1?k2yP?2p2p2pk2p故直线PQ的方程是y??(x?)，
k1?k2k2k化简得：y?（化简思路：化简时将含k的项移到等式的一边） (x?2p)，
1?k20)． 故直线PQ过定点(2p，反之，可设P(x1，y2),直线PQ为my?x?2p， y1),Q(x2，?my?x?2p连立?2，消去x得：y2?2pmy?4p2?0,
?y?2px2y12y216p42???4p2， 于是y1y2??4p，x1x2?22p2p4pkOP?kOQy1y2?4p2?????1，故OP?OQ， 2x1x24p命题得证．
<教师备案>利用例5的结论可以快速处理一些问题，如下，供选讲，也可以不过结论，直接进行推导．
0)，则?AOB是（ ） 【备选】⑴抛物线y2?4x的弦AB过定点(2，A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上都可能 ⑵直线y?kx?1与抛物线y?x2交于A、B两点，设以AB为直径的圆为圆C，则坐标原点O与圆C的关系为_______． 0)，则?AOB为直角，点(2，0)在点(4，0)左侧，故为钝角． 【解析】 ⑴若AB过点(4，⑵∵OA?OB，故原点O在圆上．
尖子班学案2
14 第10讲·尖子-目标·教师版
2)，抛物线的弦PQ满足AP?AQ，证明：直线PQ过定点． 【拓2】已知抛物线y2?4x上一点A(1，【解析】 设直线AP的方程是x?1?m(y?2)(m?0)，
?x?1?m(y?2)由?2得y2?4my?8m?4?0，从而2yP?8m?4，得yP?4m?2． ?y?4x4同理得yQ???2．
my?yPyQ?yP41直线PQ的斜率是Q， ?2??21yQyPyQ?yPm??1xQ?xP?m44?11(4m?2)2?故直线PQ的方程是y?(4m?2)?(x?xP)??x??， 114?m??1m??1?mm?y?2?0?x?51??整理得：?m??(y?2)?(x?y?3)?0，于是?，解得?，
m?y??2x?y?3?0???故直线PQ过定点?5，?2?．
考点6：抛物线中的中垂线问题
经典精讲
【例6】
（2012年丰台二模理19）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2?4y，斜率为2的直线l与抛物线C交于A、B两点．若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M、N两点（M、N位于直线l两侧），当四边形AMBN为菱形时，求直线l的方程． ?x2?4y，联立?消y得x2?8x?4m?0，??64?16m?0．
?y?2x?m，x?xy?y28?m?． ∴x1?x2?8，x1x2??4m，12?4，1?8?m，即AB的中点为Q?4，221m?10?． 故AB的垂直平分线方程为y??8?m????x?4?．令x?0得M?0，28?m?对称， 因为四边形AMBN为菱形，所以M，N关于Q?4，【解析】 设直线l的方程为y?2x?m，A?x1，y1?，B?x2，y2?，
m?6?，且N在抛物线上，有64?4??m?6?，解得m?10， 所以N点坐标为?8，所以直线l的方程为y?2x?10．
目标班学案2
【拓3】（2011西城一模文19）已知抛物线y2?4x的焦点为F，设A，B为抛物线上两点，且AB不
与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线过点M(4，0)，求证：线段AB中点的横坐标为定值．
第10讲·尖子-目标·教师版
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