?a2(b2?k2c2)b22当?0时，l与双曲线有同支的两个交点，此时k?2．
b2?a2k2a222ab1?k??， ?于是AB?1?k2?2?b?a2k2b2?a2k22ab2b2c2c2令t?1?k?1?2?2，则AB?2，而?a2，
aatc?a2t2c2c22ab22b2222?a?a??a，故AB?2?故． ttaa故双曲线同支的焦点弦中，通径最短．
对于双曲线非同支上的弦，最短为两个顶点为端点构成的弦，长度为2a，
2b22(a2?b2)2b2，当a?b时，2a?，故通径此时就是最短的焦点弦．但当a?b2a??aaa时，最短的焦点弦为顶点连线得到的弦．这个结论都不需要记忆．
例2⑴⑵都涉及到双曲线的通径问题与焦点弦问题，例2⑶是一般的弦长问题．
经典精讲
x2y2【例2】 ⑴直线l过双曲线C：??1的左焦点，
169①若l只与C的左支相交，则弦长的最小值为_____； ②若l与C的左右两支都相交，则弦长的最小值为_____； ③设直线l截双曲线C所得的弦长为d：若d?5，则满足条件的直线l有____条；若l?8，则满足条件的直线l有____条；若d?10，则满足条件的直线l有_____条．
y2π2⑵过双曲线x??1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，求△F2AB的周长(F2为双曲线
63的右焦点）．
83⑶渐近线方程为x?2y?0和x?2y?0且被直线x?y?3?0所截得的弦长为的双曲
3线方程为_____________． 93，4． 【解析】 ⑴ ①；②8；③2，23(x?2)． 0)，直线AB方程为y?⑵ 双曲线焦点F1(?2，0)，F2(2，3代入双曲线方程得8x2?4x?13?0，∴??16?4?8?13?16?27 ∴|AB|?1?k2?14?33?1???3． a38
13?0． 8∴直线与双曲线相交的两点在双曲线的左右两支上，设A(x1，y1)为左支上的点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1x2??B(x2，y2)为右支上的点，且?2?x1?0，x2?1
6
第10讲·尖子-目标·教师版
∵AF2?AF1?2a，∴AF2?2a?AF1?2?AF1 ∵BF1?BF2?2a，∴BF2?BF1?2a?BF1?2
∴△F2AB的周长为AB?AF2?BF2?3?2?AF1?BF1?2?3?AF1?BF1 又∵AF1?1?∴AF1?BF1?123123?x1?2???x1?2?，BF1?1??x2?2???x2?2? 33332323?1?239??x1?x2?4?????4????33 33?232?∴△F2AB的周长为3?AF1?BF1?3?33 【点悟】本题求弦长利用两种方法：
⑴利用弦长公式|AB|?1?k2??求弦长，是通常使用的方法． a⑵本题中|AB|恰好是焦点弦长，求焦点弦长，对双曲线应区分两种情况处理． ①如果两个交点分别在左、右两支上，如下图左所示，则|AB|?|BF1|?|AF1|． ②如果两个交点在同一支上，如下图右所示，|AB|?|AF1|?|BF1|．
yBAF1OF2xF1BAOF2xy⑶
x?y2?1 图1图24设渐近线方程为x?2y?0和x?2y?0的双曲线系的方程为x2?4y2??．
?x2?4y2??，消去y????3x2?24x?36???0， ??x?y?3?0，2
∴??(24)2?4?3?(36??)?12?12????0
∴弦长?1?k2?2312??83?2??，解之得??4． a3322x2所求双曲线的方程为x?4y?4，即?y2?1．
4
考点3：双曲线中的夹角问题
<教师备案> 本考点主要解决角度问题，垂直与角度首先需要通过向量转化成代数表示式（垂直也可以
通过勾股定理等其它条件，但不如向量简单），再通过韦达定理对代数表达式进行转化．虽然双曲线近年考查较少，不作为重点，但双曲线的角度问题的处理也与椭圆没有什么区别，所以这些问题的处理也可以用于对直线与椭圆位置关系的处理．
第10讲·尖子-目标·教师版
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经典精讲
提高班学案1
y2【铺1】已知直线x?y?m?0与双曲线x??1交于不同的两点A，B，且OA?OB，求m的值．
2【解析】 设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
2?2y2?1?x?由?得x2?2mx?m2?2?0． 2?x?y?m?0?判别式??8m2?8?0，x1?x2?2m，x1x2??m2?2，（*）
OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?(x1?m)(x2?m)?2x1x2?m(x1?x2)?m2?0， 将（*）代入上式解得m2?4?0?m??2．
y2【例3】 已知双曲线C：x?设直线l是圆O:x2?y2?2上动点P(x0，y0)(x0y0≠0)处的切?1，
2线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明?AOB的大小为定值．
2【解析】 点P(x0，y0)(x0y0≠0)在圆x2?y2?2上，
x圆在点P(x0，y0)处的切线方程为y?y0??0(x?x0)，化简得x0x?y0y?2．
y0?2y2?1?x?2222由?及x0?y0?2得(3x0?4)x2?4x0x?8?2x0?0， 2?xx?yy?20?02∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0?x0?2， 2222∴3x0?4≠0，且??16x0?4(3x0?4)(8?2x0)?0，
设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
24x08?2x0则x1?x2?2，x1x2?2，
3x0?43x0?4∵cos?AOB?OA?OBOA?OB，且
1?2?4?2x0(x1?x2)?x0(2?xx)(2?xx)?xx?x1x2?01021222?? y02?x0OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?28?2x01?2?23x0?42?x0222??8?2x28?2x2x08?2x0??8x0?4?2??20?20?0． ?23x0?43x0?4?3x0?43x0?4???∴?AOB的大小为90?．
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第10讲·尖子-目标·教师版
10.2直线与抛物线的位置关系
暑假知识回顾
直线l：y?kx?m与抛物线y?2px（p?0）的位置关系（斜率不存在时，单独讨论）：
2?y?kx?m联立?2，消去y得：k2x2?2(km?p)x?m2?0，
?y?2pxm2当k?0时，解得x?，此时直线与抛物线的轴平行，一定有一个交点；
2p当k?0时，有??4p(p?2km)，根据?的符号可得到公共点的个数．
说明：对于抛物线y2?2px来说，联立消元时消去y比消去x计算量大．
为了减少计算量，我们会设立倒斜横截式来设定直线，即设直线方程为my?x?b，此时m是直线的斜率的倒数，不能表示斜率为0的直线．但考虑到学生习惯设立直线的斜截式，而且大部分学校老师都引导学生设立斜截式，所以程度不太好的学生比较难习惯这种设法，反而容易出错．我们也可以在消元时直接将x表示成y，如：在上面的推导中，我们讨论k?0与k?0的情m2y?m况，当k?0时，直线方程为y?m，联立解得x?；当k?0时，有y2?2p?，即
2pk2p2pm4p28pm4p(p?2mk)． y?y??0，得??2??kkkkk22 练习2：已知直线y?(a?1)x?1与曲线y2?ax恰有一个公共点，求实数a的值． ?y?(a?1)x?1【解析】 联立方程?2，
y?ax??x?1①当a?0时，次方程恰有一组解为?；
y?0?a?12②当a?0时，得y?y?1?0，
a?x??1a?1ⅰ．若； ?0，即a??1，则方程为?y?1?0，得?y??1a?a?14(a?1)4?0，即a??1，由??0得1??0，可得a??． aa5这时直线与曲线相切，只有一个公共点.
4综上，当a?0，?1，?时，直线与曲线y2?ax只有一个公共点．
5ⅱ．若
练习3：过点P(0，?4)的抛物线G:x2?4y的切线方程为 ． 【解析】 设过点P(0，?4)的抛物线G:x2?4y的切线方程为y?kx?4，
将其与抛物线G:x2?4y联立，消去参数y可得x2?4kx?16?0，
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第10讲·尖子-目标·教师版
∵该直线与抛物线相切，故??16k2?64?0?k??2， ∴切线方程为y??2x?4．
练习4：顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x?y?4?0所得的弦长为35，求抛物线方程． ?y2?2ax【解析】设抛物线的方程为y?2ax（a?0）由?得2x2?(8?a)x?8?0，
?2x?y?4?02设方程的两根为x1，x2，则1?k2x1?x2?35．
8?a，x1x2?4代入1?k2(x1?x2)2?4x1x2?35中 2可得a2?16a?36?0，解得a?2或a??18 把k?2，x1?x2?所以所求的抛物线方程为y2?4x或y2??36x．
考点4：抛物线的焦点弦问题
<教师备案> 抛物线的焦点弦有很多性质，这些性质的推导都用到了直线与抛物线的位置关系中常用的
处理方法，可以选择一些性质让学生进行推导，从而熟悉直线与抛物线位置关系问题的基本处理方法，这些性质不需要记忆，介绍完这些性质的推导过程再做后面的例5．
知识点睛
抛物线过焦点的弦有一些特殊的性质：（这些性质不需要记忆）
2已知AB是抛物线y?2px(p?0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，AC，BD垂直于抛物线的准线于C，D两点，如图，记直线AB的倾斜角为?，A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有以下结论：
p2① x1?x2?；y1?y2??p2；
42p② |AB|?x1?x2?p?2；
sin?p2③ S△AOB?；
2sin?112??； ④
|AF||BF|p⑤ 以AF（BF）为直径的圆与y轴相切； ⑥ 以AB为直径的圆与抛物线准线相切； ⑦ A、O、D（B、O、C）三点共线．
<教师备案>推导过程如下：
?p?① ∵y2?2px(p?0)的焦点F?，0?，
?2?yCNDOBFθAMx10 第10讲·尖子-目标·教师版