高三第二次调研测试 数学理
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 已知集合____． ，则2. 已知复数
，其中为虚数单位．若为纯虚数，则实数a的值为____．
上，其频率分布直方图如图所
3. 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间示，则成绩不低于60分的人数为____．
4. 如图是一个算法流程图，则输出的的值为____．
5. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm2的概率为____． 6. 在
中，已知
，则
中，已知双曲线与双曲线
的长为____．
有公共的渐近线，且经过点
7. 在平面直角坐标系
，则双曲线的焦距为____．
8. 在平面直角坐标系xOy中，已知角的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点
，，则的值为____．
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9. 设等比数列10. 已知
的前n项和为．若均为正数，且
，则
成等差数列，且，则的值为____．
的最小值为____．
表示的平面区域
11. 在平面直角坐标系xOy中，若动圆上的点都在不等式组内，则面积最大的圆C的标准方程为____． 12. 设函数取值范围是____． 13. 在平面四边形14. 已知为常数，函数
（其中为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数的
中，已知，则的值为____．
的最小值为，则的所有值为____．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15. 在平面直角坐标系（1）若（2）设
，
，求
，且
中，设向量
的值；
，求的值．
，
，
．
16. 如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB ??AC，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异于端点），且∠ABE?∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1． 求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C； （2）BC // 平面AEF．
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17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆
的短轴端点，P是椭圆
上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为时，线段PB1的长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点Q满足： ．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．
18. 将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面； 方案②：以为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形（各边分别与或垂直）作为正四棱柱的两个底面．
（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径； （2）设的长为dm，则当为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？
19. 设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且
（i???1，2，3，4）． ．记
（1）求证：数列不是等差数列； （2）设，．若数列是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域； （3）数列能否为等比数列？并说明理由．
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20. 设函数（1）若函数（2）设①若对任意的②若
．
是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；
，
，求证：存在，求证：
．
使
是；
的导函数．
数学Ⅱ（附加题）
． 本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21. 如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D．求证：
．
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知别为
23. 在极坐标系中，求以点
24. 已知a，b，c为正实数，且写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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4第
．设变换，对应的矩阵分
，，求对△ABC依次实施变换，后所得图形的面积．
为圆心且与直线：相切的圆的极坐标方程．
，求证：．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应．．．．．．．
25. 在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的33表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元． （1）求概率；
（2）求的概率分布及数学期望．
26. 已知…，．记．
（1）求的值；
（2）化简的表达式，并证明：对任意的
，都能被整除．
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