22. 已知函数f(x)?lnx?12ax?2x(a?0). 2（1）若函数f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； （2）若a??11且关于x的方程f(x)??x?b在?1,4?上恰有两个不相等的实数根，求实22数b的取值范围；
（3）设各项为正的数列{an}满足：a1?1,an?1?lnan?an?2,n?N*.求证：an?2n?1.
答案
一、选择题 BCDC BCBD DADC
二、填空题 13、23 14、12?? 15、2 16、100 三、解答题：17、解：当
x????k??时， -------1分 242有：f?x??22sin?x?x???x???x?????cos?tan????tan???
2?24??24??24?2 ?sinx?2cosx????1?sinx?cosx?2sin?x??. -------4分 24??（1） 令?又由
?2?2k??x??4??2?2k?，得2k??3???x?2k??. 44x?????k??，得x?2k??. ------6分 2422 ? f?x?的单调增区间是：?2k??分
（2） 当x?[0,??3???????,2k???,?2k??,2k????k?Z? ------842??24??2)时，x???3?2????[,)，则sin?x??有最小值 -------10分 44424??此时f?x?min?1，故由题意得 1?m?1?m?0. ------12分
???18、解：（1）四人恰好买到同一只股票的概率P1?6?11111?.------4分
666621622C4C2223A6?C4A62A2135?. （2）解法一：四人中有两人买到同一只股票的概率P2?462164A6605???. 四人中每人买到不同的股票的概承率P36421618所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率P?P2?P3?分
1356019565???.------82162162167232C4A6205??. 解法二：四人中有三人恰好买到同一只股票的概率P4?6421654
所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率P?1?P1?P4? （3）每股今天获利钱数?的分布列为： 所以,10手股票在今日交易中获利钱数的数学期望为
19565?. 21672? P 2 0.6 0 0.2 ?2 0.2 1000E??1000???2?0.6?0?0.2???2??0.2???800-----12
分
?底面ABC，19、解法一：（1）AC1?23,??A作AO?AC1ACC111AC?60.侧面A于点O，则AO,AO?OB?3,AO=1，BO?AC. 1⊥平面ABC，可得：AO?11以O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系. -------2分 则A?0,?1,0?,B?3,0,0,A10,0,3,
???C?0,1,0?,B1?3,1,3. ?A1B1???3,1,0,AB1???3,2,3,AC??0,2,0?.
???n?AB1?0设平面ABC，解得n???1,0,1?， -------4分 1的法向量为n??x,y,1?，由???n?AC?0由cosA1B1,n??分
（2）设存在点P符合，且点P坐标设为P?0,y,z?, ------7分
66 得：棱A1B1与平面AB1C所成的角的大小为arcsin.------644BD?BA?BC??23,0,0,?D?3,0,0. ?DP??????3,y,z.平面ABC?DP?n?0,得1的法向量n???1,0,1?,又DP∥平面ABC1，
??y?1????y?0,?P0,0,3. ------10分 z?3, 由AP=AA1得：?3??3???又DP?平面ABC，其坐标为0,0,3,恰好为A11，故存在点P，使DP∥平面ABC1点.---12分 A . D O Z A1 B1 ??C1
A1 B1 C1
C B x 解法一
Y . D A B
O 解法二
M C
解法二(略解)（1）如图可得; B1C?B1M2?CM2?6,?ABM中，得
AM?7,?AB1?10 d，则有 AC?2,?AC?B1C.?S?AB1C?6.设B到平面ABC1的距离是d=
S?ABCB1M6= -------3分 2S?AB1Cd6?， -----5分 AB4.设棱AB与平面ABC1所成的角的大小是?，则sin??又AB//A1所成的角的大小是arcsin1B1，∴A1B1与平面ABC6. ---------6分 4（2）BD=BA＋BC，∴四边形ABCD是平行四边形.∴CD=BA=B1A1， -----8分 ∴CDA1D//B1C, -------10分 1B1是平行四边形.∴A又A1D?面ABC1, B1C?面ABC1
∴A1D∥平面ABC1, 故存在点P即点A1，使DP∥平面ABC1. ----12分 20、解：（1）设d、q分别为数列?an?、数列?bn?的公差与公比.
由题意知，a1?1,a2?1?d,a3?1?2d, 等比数列?bn?的前三项是2，2+d,4+2d，
?(2?d)2?2(4?2d)?d??2. ------2分 ?an?1?an,?d?0.?d?2,?an?2n?1(n?N*). ------4分
由此可得b1?2,b2?4,q?2,?bn?2(n?N). ------5分
（2）Tn?n*aa1a21352n?1????n??2?3???n,① b1b2bn2222
当n?1时，T1?111352n?1;当n?2时，Tn?2?3?4???n?1.② 222222111?2(2?3?222?12n?1112n?1)???(1?)?. 2n2n?122n?12n?1①-②，得：Tn?12?Tn?3? ?Tn?12n?2?2n?12n?3?3?. ------9分 2n2n ------10分
2n?311??3??3. nnn2∴满足条件Tn?2n?31??c(c?Z)恒成立的最小整数值为c?3. ------12分 nn221、解：(1)在Rt?F1MF2中，OM?F1F2?2知C?2 2a2?b2?c2x2y222??1 -------4分 则 3 解得a?6,b?2?椭圆方程为162??1a2b2(2)设N(m,n)（m≠0），l为y?nx?t，A(x1,y1),B(x2,y2) mnx2y21n22nt2)x?tx??1?0 -----6分 ??1得 (? 由y?x?t与2m62mm2621n21x2nt2?2代入得2?tx??1?0 由点N(m,n)在椭圆上知，?262mmmm2t2∴x1?x2??mnt x1x2?m(?1)，① -------8分
22∴kNA?kNB?y1?ny2?n(y1?n)(x2?m)?(y2?n)(x1?m) ??2x1?mx2?mx1x2?m(x1?x2)?m2 ?nx1x2?(t?2n)x(1?x2?)m2t?(n)2n2?2m 将①式代入得kNA?kNB? mtx1x2?m(x1?x)2?m2?mn2又∵NA、NB与x轴围成的三角形是等腰三角形得kNA?kNB?0， ------10分
m2n2??1 得m2?3 ?N(?3,?1) -------12分 ∴n?1代入622ax2?2x?1(x?0).依题意f?(x)?0在x?0时有解:即22、解：（1）f?(x)??x
ax2?2x?1?0在x?0有解.则??4?4a?0且方程ax2?2x?1?0至少有一个正根.
此时，?1?a?0…………………………………………………………4分
1113,f(x)??x?b?x2?x?lnx?b?0. 2242123(x?2)(x?1).列表： 设g(x)?x?x?lnx?b(x?0).则g?(x)?422x（2）a??x g?(x) g(x) （0，1） + 1 0 极大值 （1，2） ? 2 0 （2，4） + 极小值 5?g(x)极小值?g(2)?ln2?b?2,g(x)极大值?g(1)??b?.g(4)??b?2?2ln2 -----6
4分
方程g(x)?0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.
?g(1)?05?则?g(2)?0解得：ln2?2?b??……………………………………………9分
4?g(4)?0?(3)设h(x)?lnx?x?1,x??1,???，则h?(x)?1?1?0 x?h(x)在?1,???为减函数，且h(x)max?h(1)?0,故当x?1时有lnx?x?1.
a1?1.假设ak?1(k?N*),则ak?1?lnak?ak?2?1，故an?1(n?N*).
从而an?1?lnan?an?2?2an?1.?1?an?1?2(1?an)??2n(1?a1).
即1?an?2n,?an?2n?1.……………………………………………14分