（3）用导数求最值，可证得f(xn)?f(yn)?f(?1)?f(1)?5．（本小题满分13分）
4.……15分 3x2y2设M是椭圆C:??1上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异
124于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．
解：设点的坐标M(x1,y1),N(x2,y2)(x1y1?0),E(x,y),
则P(?x1,y1),Q(?x1,?y1),T(x1,?y1),……1分
?x12???12 ?2?x2???12y12?1,????(1)4………………………………………………………3分 2y2?1.????(2)4 由（1）－（2）可得kMN?kQN??.………………………………6分 又MN⊥MQ，kMN?kMQ??1,kMN??13x1y,所以kQN?1. y13x1 直线QN的方程为y?y1x(x?x1)?y1，又直线PT的方程为y??1x.……10分 3x1y1 从而得x?11x1,y??y1.所以x1?2x,y1??2y. 22x2?y2?1(xy?0),此即为所求的轨迹方程.………………13分 代入（1）可得36．（本小题满分12分）
过抛物线x?4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，PA?PB?0. （1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点F（0，1），是否存在实数?使得FA?FB??(FP)?0？若存在，求出?的值，若不存在，请说明理由.
2x12x2解法（一）：（1）设A(x1,),B(x2,),(x1?x2)
4422'由x?4y,得：y?2x 2?kPA?x1x,kPB?2 22?PA?PB?0,?PA?PB,?x1x2??4………………………………3分
x12x1x1xx12直线PA的方程是：y??(x?x1)即y?? ①
42242x2xx2同理，直线PB的方程是：y?? ②
24x1?x2?x??2由①②得：?(x1,x2?R) x1x2?y???1,4?∴点P的轨迹方程是y??1(x?R).……………………………………6分
2x12x2x?x（2）由（1）得：FA?(x1,?1),FB?(x2,?1),P(12,?1)
442FP?(x1?x2,?2),x1x2??4 222x12x2x12?x2 …………………………10分 FA?FB?x1x2?(?1)(?1)??2?4442(x1?x2)2x12?x2(FP)??4??2
442所以FA?FB?(FP)?0
故存在?=1使得FA?FB??(FP)?0…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且PA?PB?0, ∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且PA?PB, 设PA的直线方程是y?kx?m(k,m?R,k?0)
22?y?kx?m2由?2得：x?4kx?4m?0 ?x?4y???16k2?16m?0即m??k2…………………………3分
即直线PA的方程是：y?kx?k 同理可得直线PB的方程是：y??211x?2 kk1?y?kx?k2???x?k??R由? 11得：?ky??x????y??1kk2?故点P的轨迹方程是y??1(x?R).……………………………………6分
（2）由（1）得：A(2k,k2),B(?211,2),P(k?,?1) kkk21FA?(2k,k2?1),FB?(?,2?1)
kk1FP?(k?,?2)
k11FA?FB??4?(k2?1)(2?1)??2?(k2?2)………………………………10分
kk11(FP)2?(?k)2?4?2?(k2?2)
kk故存在?=1使得FA?FB??(FP)?0…………………………………………12分 7．（本小题满分14分）
设函数f(x)?21?x?lnx在[1,??)上是增函数. ax1a?ba?b?ln?. a?bbb（1） 求正实数a的取值范围； （2） 设b?0,a?1，求证：解：（1）f(x)?'ax?1?0对x?[1,??)恒成立， 2ax?a?又
1对x?[1,??)恒成立 x1?1 ?a?1为所求.…………………………4分 xa?ba?b（2）取x?，?a?1,b?0,??1，
bb1?x一方面，由（1）知f(x)??lnx在[1,??)上是增函数，
axa?b?f()?f(1)?0
ba?b1?b?lna?b?0 ?a?bba?ba?b1即ln……………………………………8分 ?ba?b另一方面，设函数G(x)?x?lnx(x?1)
G'(x)?1?1x?1??0(?x?1) xx∴G(x)在(1,??)上是增函数且在x?x0处连续，又G(1)?1?0 ∴当x?1时，G(x)?G(1)?0
a?ba?b ?lnbb1a?ba?b综上所述，?ln?.………………………………………………14分
a?bbb∴x?lnx 即
8．(本小题满分12分)
如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，?C?90，
?yAB、C在
的周长
xx轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD?3DC，!ABC为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．
(1) 求双曲线E的方程；
(2) 若一过点P(m,0)（m为非零常数）的直线l与双曲线E????????不同于双曲线顶点的两点M、N，且MP??PN，问
BODC相交于在x轴
?????????????上是否存在定点G，使BC?(GM??GN)？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理
由．
x2y2解：(1) 设双曲线E的方程为2?2?1(a?0,b?0)，
abyA则B(?c,0),D(a,0),C(c,0)．
由BD?3DC，得c?a?3(c?a)，即c?2a． ?|AB|?|AC|?16a,?∴?|AB|?|AC|?12?4a, ?|AB|?|AC|?2a.?222BODCx （3分）
解之得a?1，∴c?2,b?3．
y2∴双曲线E的方程为x?（5分） ?1．
3?????????????(2) 设在x轴上存在定点G(t,0)，使BC?(GM??GN)．
2y设直线l的方程为x?m?ky，M(x1,y1),N(x2,y2)． ????????由MP??PN，得y1??y2?0．
y即???1
y2????∵BC?(4,0)，
BGO ① （6分）
CPNxM?????????GM??GN?(x1?t??x2??t,y1??y2)， ?????????????∴BC?(GM??GN)?x1?t??(x2?t)．
即ky1?m?t??(ky2?m?t)． ② 把①代入②，得
2ky1y2?(m?t)(y1?y2)?0
（8分）
③ （9分）
y2把x?m?ky代入x??1并整理得
32(3k2?1)y2?6kmy?3(m2?1)?0
其中3k2?1?0且??0，即k2?1且3k2?m2?1． 3?6km3(m2?1) y1?y2?2． ,yy1?23k?13k2?1 （10分）
代入③，得
6k(m2?1)6km(m?t) ??0，
3k2?13k2?1化简得 kmt?k． 当t?1时，上式恒成立． m?????????????1因此，在x轴上存在定点G(,0)，使BC?(GM??GN)．
m （12分）
9．(本小题满分14分)
已知数列?an?各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n?N*都有(1?p)Sn?p?pan（p为大于1的常数），
2n1?C1na1?Cna2???Cnan记f(n)?．
2nSn(1) 求an；
(2) 试比较f(n?1)与
p?1； f(n)的大小（n?N*）
2p2n?1p?1??p?1???1??（n?N*）． ??，p?1?2p?????(3) 求证：(2n?1)f(n)剟f(1)?f(2)???f(2n?1)解：(1) ∵(1?p)Sn?p?pan，
①
②
∴(1?p)Sn?1?p?pan?1． ②－①，得
(1?p)an?1??pan?1?pan，
即an?1?pan．
（3分）
在①中令n?1，可得a1?p．
∴?an?是首项为a1?p，公比为p的等比数列，an?pn． p(1?pn)p(pn?1)(2) 由(1)可得Sn?． ?1?pp?12n122nnnn1?C1na1?Cna2???Cnan?1?pCn?pCn???Cnp?(1?p)?(p?1)．
（4分）