当|PT|?0且|TF2|?0时，由|PT|?|TF2|?0，得PT?TF2. 又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点. 在△QF1F2中，|OT|?1|F1Q|?a，所以有x2?y2?a2. 2222综上所述，点T的轨迹C的方程是x?y?a.…………………………7分 解法二：设点T的坐标为(x,y). 当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.
当|PT|?0且|TF2|?0时，由PT?TF2?0，得PT?TF2. 又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点. ??x?设点Q的坐标为（x?,y?），则???y???x??c,2 y?.2
?x??2x?c,因此? ①
?y?2y.?222由|F1Q|?2a得(x??c)?y??4a. ②
将①代入②，可得x?y?a.
综上所述，点T的轨迹C的方程是x?y?a.……………………7分
222222 （Ⅲ）解法一：C上存在点M（x0,y0）使S=b2的充要条件是
22?x0?y0?a2, ? ?12??2c|y0|?b.?2③ ④
2b2b|y|?a. 所以，当a?时，存在点M，使S=b2； 由③得0，由④得|y0|?cc当a?b时，不存在满足条件的点M.………………………11分
c2b当a?时，MF1?(?c?x0,?y0),MF2?(c?x0,?y0)， c2由MF1?MF2?x0?c?y0?a?c?b，
222222MF1?MF2?|MF1|?|MF2|cos?F1MF2，
S?1|MF1|?|MF2|sin?F1MF2?b2，得tan?F1MF2?2. 2解法二：C上存在点M（x0,y0）使S=b2的充要条件是
22③ ?x0?y0?a2,? ?1
2??2c|y0|?b.④ ?2
b2b4b2b222由④得|y0|?. 上式代入③得x0?a?2?(a?)(a?)?0.
cccc2b于是，当a?时，存在点M，使S=b2； c当a?b时，不存在满足条件的点M.………………………11分
c2y0y0b当a?时，记k1?kFM?， ,k?k?2F2M1x0?cx0?cc2
由|F1F2|?2a,知?F1MF2?90?，所以tan?F1MF2?|k1?k2|?2.…………14分
1?k1k22．（本小题满分12分）
函数y?f(x)在区间（0，+∞）内可导，导函数f?(x)是减函数，且f?(x)?0. 设
x0?(0,??),y?kx?m是曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）得的切线方程，并设函数g(x)?kx?m.
（Ⅰ）用x0、f(x0)、f?(x0)表示m； （Ⅱ）证明：当x0?(0,??)时,g(x)?f(x)；
3 （Ⅲ）若关于x的不等式x?1?ax?b?x3在[0,??)上恒成立，其中a、b为实数，
222 求b的取值范围及a与b所满足的关系.
本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分 （Ⅰ）解：m?f(x0)?x0f?(x0).…………………………………………2分 （Ⅱ）证明：令h(x)?g(x)?f(x),则h?(x)?f?(x0)?f?(x),h?(x0)?0. 因为f?(x)递减，所以h?(x)递增，因此，当x?x0时,h?(x)?0；
当x?x0时,h?(x)?0.所以x0是h(x)唯一的极值点，且是极小值点，可知h(x)的
最小值为0，因此h(x)?0,即g(x)?f(x).…………………………6分
（Ⅲ）解法一：0?b?1，a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x?1?ax?b,即x?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是 a?2(1?b).
1222
另一方面，由于f(x)?3x3满足前述题设中关于函数y?f(x)的条件，利用（II）的结果可知，ax?b?3x3的
221222?充要条件是：过点（0，b）与曲线y?3x3相切的直线的斜率大于a，该切线的方程为y?(2b)2x?b.
2
于是ax?b?3x3的充要条件是a?(2b)2.…………………………10分
221
3综上，不等式x2?1?ax?b?x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是
2(2b)?122
?a?2(1?b). ①
?1212显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式(2b)?2(1?b). ②
12有解、解不等式②得2?2?b?2?2. ③
44因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
（Ⅲ）解法二：0?b?1,a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x?1?ax?b,即x?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是 a?2(1?b).………………………………………………………………8分
23333令?(x)?ax?b?x，于是ax?b?x对任意x?[0,??)成立的充要条件是
2212222
?(x)?0. 由??(x)?a?x?13?0得x?a?3.
当0?x?a?3时??(x)?0;当x?a?3时，??(x)?0，所以，当x?a?3时，?(x)取最小值.因此?(x)?0成立
?3的充要条件是?(a)?0，即a?(2b)
22?12.………………10分
综上，不等式x?1?ax?b?3x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是
2(2b)?12?a?2(1?b). ①
?1212显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式(2b)有解、解不等式②得2?2?b?2?2.
44?2(1?b) ②
12因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分
3．（本小题满分12分）
已知数列?an?的首项a1?5,前n项和为Sn，且Sn?1?Sn?n?5(n?N)
*（I）证明数列?an?1?是等比数列；
2（II）令f(x)?a1x?a2x???anx，求函数f(x)在点x?1处的导数f?(1)并比较2f?(1)与23n?13n的大小.
2n解：由已知Sn?1?Sn?n?5(n?N)可得n?2,Sn?2Sn?1?n?4两式相减得
*Sn?1?Sn?2?Sn?Sn?1??1即an?1?2an?1从而an?1?1?2?an??1当
n?1时S2?2S1?1?5所以
a2?a1?2a?16又a1?5所以a2?11从而a2?1?2?a1?1?
故总有an?1?1?2(an?1)，n?N又a1?5,a1?1?0从而（II）由（I）知an?3?2?1
因为f(x)?a1x?a2x???anx所以f?(x)?a1?2a2x???nanx2nn?1n*an?1?1?2即数列?an?1?是等比数列；
an?1
n从而f?(1)?a1?2a2???nan=?3?2?1??23?2?1???n(3?2?1)
2??=32?2?2???n?2?2n?-?1?2???n?=3?n?1??2nn?1?n(n?1)?6 2由上2f?(1)?23n?13n?12?n?1??2-122n?n?1=
22n12?n?1??2n?12?n?1?(2n?1)=12(n?1)?2??(2n?1)??①
????当n?1时，①式=0所以2f?(1)?23n?13n； 当n?2时，①式=-12?0所以2f?(1)?23n?13n 当n?3时，n?1?0
又2??1?1??Cn?Cn???Cn?Cn?2n?2?2n?1
n01n?1nn22ByAM2所以?n?1???2??2n?1????0即①?0从而2f?(1)?23n?13n
n
4．(本小题满分14分) 已知动圆过定点?Nox?p?F?,0??2?p?p?,0?，且与直线x??相切，其中p?0.
2?2?x??p2（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；
（II）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为?和?，当?,?变化且???为定值?(0????)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.
解：（I）如图，设M为动圆圆心，?p?p?,0?为记为F，过点M作直线x??的垂线，垂足为N，由题意知：
2?2?p的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中2MF?MN即动点M到定点F与定直线x??p?p?F?,0?为焦点，x??为准线，所以轨迹方程为y2?2px(P?0)；
2?2?（II）如图，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由题意得x1?x2（否则?????）且x1,x2?0所以直线AB的斜率存在，
2y12y22设其方程为y?kx?b，显然x1?，将y?kx与y?2px(P?0)联立消去x，得,x2??b2p2p2ky?2py?2p?b0由韦达定理知y1?y2?2p2pb① ,y1?y2?kk2y12y2y1y2（1）当??时，即????时，tan??tan所以?y1y2?0所以??1,x1x2?y1y2?0，??124px1x222??2pby1y2?4p2由①知：即k(x?2P)?y?0?4p2所以b?2pk.因此直线AB的方程可表示为y?kx?2Pk，
k以直线AB恒过定点??2p,0? （2）当??所
?2时，由?????，得tan??tan(???)=
tan??tan?=
1?tan?tan?2p(y1?y2)2p2p将①式代入上式整理化简可得：，所以tan??b??2pk，
y1y2?4p2b?2pktan?此时，直线AB的方程可表示为y?kx?2p2p??2pk即k(x?2p)??y?tan?tan?????0 ?所以直线AB恒过定点??2p,??2ptan??? ?所以由（1）（2）知，当??5．（本小题满分12分）
?2时，直线AB恒过定点??2p,0?，当???2时直线AB恒过定点??2p,??2ptan???. ?x2?y2?1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分已知椭圆C1的方程为4别是C1的左、右焦点.
（Ⅰ）求双曲线C2的方程； （Ⅱ）若直线l:y?kx?2与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足
OA?OB?6（其中O为原点），求k的取值范围.
22解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为x?y?1，则a2?4?1?3,再由a2?b2?c2得b2?1.
22abx2?y2?1. 故C2的方程为3