2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四
1．（本小题满分14分） 已知f(x)=
2x?a(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数. 2x?21的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1x（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A； （Ⅱ）设关于x的方程f(x)=
－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.
本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知
识分析问题和解决问题的能力.满分14分.
4?2ax?2x2?2(x2?ax?2)解：（Ⅰ）f＇(x)== ，
(x2?2)2(x2?2)2∵f(x)在[－1，1]上是增函数， ∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，
即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立. ① 设?(x)=x2－ax－2， 方法一：
?(1)=1－a－2≤0，
① ? ?－1≤a≤1，
?(－1)=1+a－2≤0.
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a≤1}. 方法二： aa≥0， <0， 22①? 或 ?(－1)=1+a－2≤0 ?(1)=1－a－2≤0
? 0≤a≤1 或 －1≤a≤0 ? －1≤a≤1.
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a≤1}. （Ⅱ）由
2x?a1=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+8>0 2x?2x∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根， x1+x2=a，
2∴ 从而|x1－x2|=(x1?x2)?4x1x2=a?8.
2x1x2=－2，
∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=a?8≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立， 即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ② 设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)， 方法一：
g(－1)=m2－m－2≥0， ② ?
g(1)=m2+m－2≥0，
2?m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}. 方法二：
当m=0时，②显然不成立； 当m≠0时，
m>0， m<0， ②? 或
g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0
? m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
2．（本小题满分12分）
如图，P是抛物线C：y=另一点Q.
（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，
方程； 试
求
12
x上一点，直线l过点P且与抛物线2C交于
|ST||ST|?的取值范围. |SP||SQ|本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分
12分.
解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0. 由y=
12
x， ① 2得y＇=x.
∴过点P的切线的斜率k切= x1， ∴直线l的斜率kl=－
11=-，
k切x1∴直线l的方程为y－
112
x1=－ (x－x1)，
x12方法一：
联立①②消去y，得x2+∵M是PQ的中点 x0=
∴
y0=
2x－x12－2=0. x1x1?x21=-， x12121x1－(x0－x1).
x1212x02消去x1，得y0=x02+
+1(x0≠0)，
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+方法二： 由y1=
12x02+1(x≠0).
x?x2121x1，y2=x22，x0=1，
222得y1－y2=则x0=
12121x1－x2=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)， 222y1?y21=kl=-，
x1?x2x1∴x1=－
1， x0将上式代入②并整理，得
y0=x02+
12x02+1(x0≠0)，
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+
12x02+1(x≠0).
（Ⅱ）设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T(0，b).
分别过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分别为P＇、Q＇，则
|b||b||ST||ST||OT||OT|. ???????|SP||SQ||PP||QQ||y1||y2| y=
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x 2由 消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0. ③ y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，
则
y1y2=b2.
方法一： ∴
1111|ST||ST|)≥2|b|=2|b|=2. ??|b|(?2y1y2y1y2b|SP||SQ|∵y1、y2可取一切不相等的正数， ∴
|ST||ST|的取值范围是（2，+?）. ?|SP||SQ|方法二：
y1?y22(k2?b)|ST||ST|∴=|b|=|b|. ?2y1y2|SP||SQ|b|ST||ST|2(k2?b)2(k2?b)2k2?当b>0时，=b==+2>2； |SP||SQ|bbb2|ST||ST|2(k2?b)2(k2?b)?当b<0时，=－b=. 2|SP||SQ|?bb又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0， 于是k2+2b>0，即k2>－2b. 所以
|ST||ST|2(?2b?b)?>=2. |SP||SQ|?b2k2∵当b>0时，可取一切正数，
b∴
|ST||ST|的取值范围是（2，+?）. ?|SP||SQ|方法三：
由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP， 即
y2?by1?b=. x2x1则x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).
1212x2?x1?x1?x2122于是b==－x1x2.
x2?x1211|?x1x2||?x1x2|xx|b||ST||ST||b|22?∴==+=|2|+|1|≥2. ?x1x2|SP||SQ||y1||y2|2 12 1∵|x2|可取一切不等于1的正数， x1∴
|ST||ST|的取值范围是（2，+?）. ?|SP||SQ|3．（本小题满分12分）
某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.
（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.） ．．．
本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分. 解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为
1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；
④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.