综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.
4．（本小题满分14分）
已知a?0,数列{an}满足a1?a,an?1?a?1,n?1,2,?. an（I）已知数列{an}极限存在且大于零，求A?liman（将A用a表示）；
n??（II）设bn?an?A,n?1,2,?,证明:bn?1??（III）若|bn|?bn;
A(bn?A)1对n?1,2,?都成立，求a的取值范围. n2本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.
解：（I）由liman存在,且A?liman(A?0),对an?1?a?n??n??1两边取极限得 an
1a?a2?4a?a2?4A?a?,解得A?.又A?0,?A?.
A22（II）由an?bn?A,an?1?a?
11得bn?1?A?a?. anbn?A?bn?1?a?A?
bn111?????.bn?AAbn?AA(bn?A)即bn?1
bn??对n?1,2,?都成立A(bn?A)
（III）令|b1|?111,得|a?(a?a2?4)|?. 22211?|(a2?4?a)|?.22
3 ?a2?4?a?1,解得a?.231现证明当a?时,|bn|?n对n?1,2,?都成立.22（i）当n=1时结论成立（已验证）.
（ii）假设当n?k(k?1)时结论成立,即|bk|?
1,那么 k2
|bk?1|?|bk|11??k
|A(bk?A)|A|bk?A|2 故只须证明
1A|bk?A|?13,即证A|bk?A|?2对a?成立. 22a?a2?4由于A??2
2a?4?a2,3而当a?时,a2?4?a?1,?A?2.2
1?|bk?A|?A?|bk|?2?k?1,即A|bk?A|?2.23111故当a?时,|bk?1|??k?k?1.2222即n=k+1时结论成立.
根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立. 故|bn|?
13对n?1,2,?都成立的a的取值范围为[,??). n225．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）
已知a?R，函数f(x)?x2|x?a|.
(Ⅰ)当a?2时，求使f(x)?x成立的x的集合； (Ⅱ)求函数y?f(x)在区间[1，2]上的最小值.
本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力. 满分14分. 解：（Ⅰ）由题意，f(x)?x2x?2.
当x?2时，f(x)?x2(2?x)?x，解得x?0或x?1； 当x?2时，f(x)?x2(x?2)?x，解得x?1?2. 11?2. 综上，所求解集为0，，??（Ⅱ）设此最小值为m.
①当a?1时，在区间[1，2]上，f(x)?x3?ax2. 因为
2 f?(x)?3x2?2ax?3x(x?a)?0，x?(1，2)，
3则f(x)在区间[1，2]上是增函数，所以m?f(1)?1?a.
②当1?a?2时，在区间[1，2]上，f(x)?x2(x?a)?0，由f(a)?0知 m?f(a)?0.
③当a?2时，在区间[1，2]上，f(x)?ax2?x3.
2 f?(x)?2ax?3x2?3x(a?x).
3若a?3，在区间(1，2)内f?(x)?0，从而f(x)为区间[1，2]上的增函数， 由此得 m?f(1)?a?1.
2若2?a?3，则1?a?2.
322 当1?x?a时，f?(x)?0，从而f(x)为区间[1，a]上的增函数；
3322 当a?x?2时，f?(x)?0，从而f(x)为区间[a，2]上的减函数.
33因此，当2?a?3时，m?f(1)?a?1或m?f(2)?4(a?2).
7当2?a?时，4(a?2)?a?1，故m?f(2)?4(a?2)；
3当
7?a?3时，a?1?4(a?2)，故m?f(1)?a?1. 3综上所述，所求函数的最小值 ?1?a，??0，? m??4(a?2)，???a?1，?当a?1时；当1?a?2时；7 当2?a?时；37当a?时．36．（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）
设数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?1，a2?6，a3?11，且
(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B，n?1，，，23?，
其中A，B为常数. (Ⅰ)求A与B的值；
(Ⅱ)证明：数列?an?为等差数列；
(Ⅲ)证明：不等式5amn?aman?1对任何正整数m，n都成立.
本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力. 解：（Ⅰ）由已知，得S1?a1?1，S2?a1?a2?7，S3?a1?a2?a3?18. 由(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B，知 ??3S2?7S1?A?B， ? 即
2S?12S?2A?B，2?3?A?B??28， ?2A?B??48，?解得 A??20，B??8. （Ⅱ）方法1
由（Ⅰ），得 (5n?8S)n?1?n(5? ① S2??n2?0， 8n)所以 (5n?3)Sn?2?(5n?7)Sn?1??20n?28. ② ②-①，得 (5n?3)Sn?2?(10n?1)Sn?1?(5n?2)Sn??20， ③
所以 (5n?2)Sn?3?(10n?9)Sn?2?(5n?7)Sn?1??20. ④ ④-③，得 (5n?2)Sn?3?(15n?6)Sn?2?(15n?6)Sn?1?(5n?2)Sn?0. 因为 an?1?Sn?1?Sn，
所以 (5n?2)an?3?(10n?4)an?2?(5n?2)an?1?0. 又因为 5n?2?0，
所以 an?3?2an?2?an?1?0， 即 an?3?an?2?an?2?an?1，n?1. 所以数列?an?为等差数列. 方法2
由已知，得S1?a1?1，
又(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn??20n?8，且5n?8?0， 所以数列?Sn?是唯一确定的，因而数列?an?是唯一确定的. 设bn?5n?4，则数列?bn?为等差数列，前n项和Tn?n(5n?3)2.
于是 (5n?8T)n?1?n(5?T2n)?n?(5(n?8)1)(n5?2?)n?(5nn22(?5)?3?)2n?由唯一性得 bn?an，即数列?an?为等差数列. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，an?1?5(n?1)?5n?4. 要证
5amn?aman?1，
只要证 5amn?1?aman?2aman. 因为 amn?5mn?4，aman?(5m?4)(5n?4)?25mn?20(m?n)?16， 故只要证 5(5mn?4?)?1mn25?m2?0n(?)?1a6man2，
即只要证 20m?2n0?3?7a2man. 因为 2aman?am?an?5m?5n?8 ?5m?5n?8?(15m?15n?29)
?20m?20n?37，
所以命题得证. 2 ，08
2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五
1．（本小题满分14分）
x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足
ab|F1Q|?2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT?TF2?0,|TF2|?0.
（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|F1P|?a? （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使△F1MF2的面积S=b2.若存在，求∠F1MF2
的正切值；若不存在，请说明理由.
cx； a本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为(x,y).
由P(x,y)在椭圆上，得
b22|F1P|?(x?c)?y?(x?c)?b?2xa
c?(a?x)2.a2222由x?a,知a?ccx??c?a?0，所以 |F1P|?a?x.………………………3分 aa证法二：设点P的坐标为(x,y).记|F1P|?r1,|F2P|?r2,
则r1?(x?c)2?y2,r2?(x?c)2?y2.
cx. ac证法三：设点P的坐标为(x,y).椭圆的左准线方程为a?x?0.
a由r1?r2?2a,r12?r22?4cx,得|F1P|?r1?a?
2由椭圆第二定义得|F1P|?c，即|F1P|?c|x?a|?|a?cx|.
acaaa2|x?|c 由x??a,知a?ccx??c?a?0，所以|F1P|?a?x.…………………………3分 aa（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为(x,y).
当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.