2018年奥数夏令营讲义
——平面几何
目 录
一、等差幂线定理 ........................................................................................................................................ 2 二、共边比例定理、分角张角 ..................................................................................................................... 8
2.1 共边比例定理................................................................................................................................ 8 2.2 分角定理 ..................................................................................................................................... 11 2.3 张角定理 ..................................................................................................................................... 13 三、Menelaus、Ceva、Pascal定理 ............................................................................................................ 16
3.1 梅涅劳斯（Menelaus）定理 ...................................................................................................... 16 3.2 赛瓦（Ceva)定理 ........................................................................................................................ 20 3.3 Pascal定理 .................................................................................................................................. 24 四、三角形五心 .......................................................................................................................................... 29
4.1 三角形的内心.............................................................................................................................. 29 4.2 三角形的外心.............................................................................................................................. 32 4.3 三角形的重心.............................................................................................................................. 35 4.4 三角形的垂心.............................................................................................................................. 39 4.5 三角形的旁心.............................................................................................................................. 43 五、等角共轭 .............................................................................................................................................. 50
5.1 等角共轭 ..................................................................................................................................... 50 5.2 等角共轭点.................................................................................................................................. 51 六、Simson 定理 、托勒密、三弦定理 ................................................................................................... 63
6.1 Simson 定理................................................................................................................................ 63 6.2 Ptolemy 定理 .............................................................................................................................. 66 6.3 三弦定理 ..................................................................................................................................... 71 七、Stewart 定理 ........................................................................................................................................ 74 八、欧拉定理、欧拉线、欧拉圆 ............................................................................................................... 79 九、圆幂定理、根轴、根心....................................................................................................................... 87 十、内外角平分线定理、线段的“分割比”、阿波罗尼斯圆 ................................................................. 104 十一、调和点列、线束............................................................................................................................. 109 十二、顾冬华20题 .................................................................................................................................. 118
注：第81题、第104题、第124题为同一题，分别由三位老师提供，诠释角度不同，故仍然顺应内容重复编排在内，方便备课.
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一、等差幂线定理
1. 如图，点P为△ABC内部一点，PL、PM、PN分别垂直于BC、CA、AB，且AM?AN，
BN?BL.
求证：CL?CM.
NAMPBCL
【证明】由定差幂线定理
PN?AB?PA2?PB2?NA2?NB2；
PL?BC?PB2?PC2?LB2?LC2；
PM?CA?PC2?PA2?MC2?MA2.
上述三式相加，结合AM?AN及BN?BL，得CL?CM.
2. A在正方形对角线上一点(不与
D重合)，A P . 求证：
D F
PFBECB
E C
【证明】
则
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3. 在
A中，. 求证：和边上的中线和互相垂直.
EBDC
【证明】连接
A ， 得
E
B
D C
CD?AB，BE?AC，CD与BE交于点H. 证明：AH?BC. 4. 如图，在△ABC中，D、E是垂足，
CEAHDB
证明：在凹四边形ACBH中，由CH?AB得AC2?BH2?BC2?AH2. 在凹四边形ABCH中，由BH?AC得AB2?CH2?BC2?AH2.
于是，在凹四边形ABHC中，得到AB2?CH2?AC2?BH2，则AH?BC. 由此题可得△ABC垂线H的一个性质：AB2?CH2?BC2?AH2?AC2?BH2.
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5. 在五边形
.
求证：
ED中，.
为五边形内一点，且
PACB
，
由凹四边形得：
.
，得：
【证明】连接由两式相减：即：
E 延长交
Q
D
P
A
C B
6. 如图，在四边形ABCD中，E和F是CD和BC上的点，AB=AD，DF
求证：
CFEBDA证明：在四边形ADEF中，由DF
及定差幂线定理得
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，又因为AB=AD，