2.2 分角定理
13. 在等腰△ABC中，∠A＜90°，从边AB上点D引AB的垂线，交边AC于E，交边BC的延长线
于F.
求证：AD=CF当且仅当△ADE面积是△CEF面积的两倍.
ADEBCF
【证明】连接BE，则EA外分?BED.
设?AED??,?AEB??，作EM?BC. 由分角定理得：
sin?sin??ADAB:DEBE 在?BEF中，EC内分?BEF，由分角定理得：
sin?sin??CFBC:EFBE
由①=②且AD?CF，得DE?BCAB?EF. 设?ABC??，在等腰?ABC中，有BCAB?2cos?. ∴DE?2EF?cos?，∴DE?2EM，∴S?ADE?2S?CEF. 以上过程均可逆.
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①
②
14. 设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD?4DC，已知圆过点C与AC交于F，与AB
相切于AB的中点G. 求证：AD?BF.
【证明】设?BAD??，?ABF??，?DAC??.
在?ABC中，AD内分?BAC，则：
sin?BDAB4AC?:?. sin?DCACAB又sin??sin(?2??)?cos?，∴tan??4AC. ABAF. ABAC?AF∴tan??tan??4?，又AB?2AG，
AB2又在Rt?ABF中，tan??∴AB2?4AG2?4AF?AC（切割线定理） ∴tan??tan??1，从而?????2，?AD?BF.
15. △ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB=AC. 以AB为一边作△ABD，且AD=BD.若∠
ADC=15°，求证：△ABD是等边三角形.
DBAC证明：设在
.
中，在AB边上用分角定理可得：
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在
中，在AB边上用分角定理可得：
所以
解得
，所以ABD是等边三角形
2.3 张角定理
16. 已知AM是△ABC的BC边上的中线，任作一直线顺次交AB,AC,AM于P,Q,N. 求
证：
ABAMAC,,成等差数列. APANAQ
【证明】令?BAM??,?MAC??,?AMB??.
以A为视点，分别对P,N,Q及B,M,C应用张角定理，有
sin(???)sin?sin???，
ANAPAQ
① ②
sin(???)sin?sin???.
AMABAC
又在?ABM和?AMC中，由正弦定理，有
即
sin?sin?sin?sin??,?. ABMBACMC
sin?sin??由已知MB?MC，上述两式相除得，于是②式可变为： ACABsin(???)2sin?2sin???，
AMABAC
sin??ABsin(???)ACsin(???)sin??2AM2AM，.
代入①得，
AM1ABAC?(?).AN2APAQ
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故
ABAMAC,,成等差数列. APANAQ14 / 137
17. 如图，在线段AB上取内分点M，使AM≤BM，分别以MA，MB为边，在AB的同侧作正方
形AMCD和MBEF，
C，N三点共线.
P和Q分别是这两个正方形的外接圆，两圆交于M，N. 求证：B，
FNDECQPAMB
证明 连MD，ME，NE，ND，NM，则∠DNM?∠ENM?90?，则D，N，E三点共线，注意∠DME?45??45??90?.
FNDECQPAMB
C?r21，MB?2r2，设∠DMN?∠NEM??，P，Q的半径分别为r1，则MMN?2r1?cos?? r2，
2r2?sin?. 对视点M，考察点B，C，N所在的三角形△MBN. 由
sin∠CMBsin∠CMNsin90?sin(45???)1?2sin??sin(45???)????
MNMB2r2sin?2r2?sin?2r2?1?sin???cos??sin??2r1?cos?cos2??sin??cos??
2r1cos???cos??sin?2?cos(45???)cos(45???)?? 2r12r12r1sin?90??45????2r1?sin∠NMB.
MC由张角定理可知B，C，N三点共线.
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