三、Menelaus、Ceva、Pascal定理
3.1 梅涅劳斯（Menelaus）定理
设直线l与?ABC三边所在直线BC，CA，AB分别交于点D，E，F，则反之，若三角形三边所在直线上三点使得上述等式成立，则该三点共线. 利用面积转换，可得出如下两个角元形式： 第一角元形式：
BDCEAF???1 DCEAFBsin?BADsin?CBEsin?ACF???1
sin?DACsin?EBAsin?FCB第二角元形式：
sin?BODsin?COEsin?AOF???1
sin?DOCsin?EOAsin?FOB（O为不再三边所在直线上的任意一点）
18. AD为锐角三角形ABC的一条高，K为AD上任一点，BK、CK的延长线分别交AC、AB于点E、
F.
求证：∠EDK＝∠FDK.
A
F
K E
C
证明：过点A作MN∥BC，与DE、DF的延长线分别交于点M、N.
B
D
NFKEAMBDC
AFBDCE
由于··=1.
FBDCEA
AFANCEDCAN
而＝，＝. ?＝1?AN＝AM，即DA是等腰三角形DMN的底边上的高， FBBDEAAMAM从而∠EDA＝∠FDA.
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19. 在△ABC中，AM、AT分别为BC边上的中线与角平分线. TK∥AC，交AM于K. 证明：AT⊥CK.
A K H
B M T
C
ADBCMKAD 1 AK
证明：由CD截△ABM，有··=1. 故＝·.
DBCMKADB2KM
ADBKMTHC
BTcacab
设AB＝c，BC＝a，CA＝b，则＝?BT＝，CT＝.
CTbb＋cb＋caaba(c－b)
MT＝CM－CT＝－＝.
2b＋c2(b＋c)
AKCT2bADb
但TK∥AC?＝＝，?＝.
KMTMc－bDBc－b
ADADbADb
＝＝，即＝?AD＝b＝AC. ABAD＋DBccc故证.
20. 如图，四边形ABCD中，AB与CD所在直线交于点E，AD与BC所在直线交于点F，BD与EF
所在直线交于点H，AC与EF所在直线交于点G. 求证：HE?FG?HF?EG.
ADBCHEGF
【解析】考虑?AEF被直线HBD截，应用梅涅劳斯定理可知
ABEHFD???1 ① BEHFDA17 / 137
考虑?AEG被直线BCF截，同理可得
ABEFGC???1 ② BEFGCA
考虑?AGF被直线ECD截，同理可得②×③÷①可得
21. 如图，已知?ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F，线段BE、CF分别与该内切
圆交于点P，Q. 若直线FE与BC交于圆外一点R，证明：P，Q，R三点共线.
AACGEFD???1 ③ CGEFDAGEHF??1 所以原命题成立 FGEHEFQPRBDC
【析】考虑?ABC被直线EFR截，应用梅涅劳斯定理可知
AEFBRPDQC
AFBRCEBRFB???1，因为AF=AE 所以?，如图，设BE与CF交于点S，则 FBRCEARCCE?EFC~?QEC，?FEB~?PFB，?SEQ~?SFP
所以，
CQCEFPFESPFP?,?,? EQEFPBFBSQEQ18 / 137
考虑?SBC及三个点P，Q，R，
SPBRCQSPCQBRFPCQBRFPCQBRFECEFB???????????????1 PBRCQSSQPBRCEQPBRCPBQERCFBEFCE由梅涅劳斯定理的逆定理可知，P，Q，R三点共线.
22. 已知△ABC的内心为I，外接圆圆心为O，BC中点为N，NI与AC交于点P，B点相对的旁切
圆圆心为M，MI与圆O交于点E，过M点的直线l与AC平行且与BC所在直线交于点F. 求证：P，E，F三点共线.
APEMODIBNCF
【析】如图，连结BI，设MI与AC交于点D，易知，B，I，D，E，M五点共线.
BFBFBC ??FCMFDCBNCPDI考虑?BCD被NIP截，应用梅涅劳斯定理知???1
NCPDIB因为MC平分?ACF，所以MF=CF， 且
BFCPBC2DICDBNCPCDCPBC??又因为，所以所以. ????1. 所以?BIBCNCPDBCPDCDFCPDCD2BFCPAE2BCAE???又因为?BCD~?AED所以，所以. 2CDEDFCPDDEAEDE2?而?ABE~?DAE，则，所以AE?DE?BE. BEAEBFCPDE?BEBEBFCPDE??????1. 所以，所以FCPDDE2DEFCPDBE所以由梅涅劳斯定理逆定理知，P，E，F三点共线.
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3.2 赛瓦（Ceva)定理
设点P不在?ABC三边所在直线上，直线AP，BP，CP分别与BC，CA，AB交于点D，E，F，则
BDCEAF???1，反之，若三角形三边所在直线上的点使得上述等式成立，则AD，BE，CF交于DCEAFB一点或互相平行.
Ceva定理角元形式：为了方便，我们可以从某个角开始，把六个角顺时针（或逆时针）标记为?1至
sin?1sin?3sin?5???1.
sin?2sin?4sin?6或者改为判断过?ABC的顶点的三条直线AX，BY，CZ是否共点，
sin?BAXsin?ACZsin?CBY等价于???1
sin?XACsin?ZCBsin?YBA?6，则
?ABC?60，23. 在△ABC中，已知?BAC?40，D，E分别为边AC，AB上的点，且使?CBD?40，
?BCE?70，F是BD与CE的交点，连结AF，证明：AF?BC.
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