28. 如图，六点A，B，D，E，F，C在圆周上顺次排列，AB=AC，AD与BE交于点P，CD与BF
交于点Q，AF与CE交于点R，AD与BF交于点S，AF与CD交于点T，在线段TS上取一点K，使得?SKQ??ACE. 求证：
ABCTKQDFSSKPQ?. TKRQ
【析】由Pascal定理可知，P，Q，R三点共线.
因为?DBS??FCT,?BDS??AFB??CFT，所以?BDS~?CFT. 所以
EBSBDQB??，所以BC//TS. CTCFQC
AB?DE??APB， 2SKSQsin?SQKSQsin?ARC??同理，?SQK??ARC，所以 TKTQsin?TQKTQsin?APB??TQK??SKQ??STQ??ACE??BCQ?sin?ARCsin?ARCsin?ABPACAPAPsin?ARP??????
sin?APBsin?ACRsin?APBARABARsin?APRSKSQsin?ARPPQsin?RTQPQ?????所以 STsin?APRTQsin?PSQRQRQ又因为
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29. 如图，△ABC的外心为O，CD为高线，M为边AC的中点，射线DM与以AD为直径的圆?的
另一个交点为Y，圆?与⊙O的另一个交点为X，直线DO与AC交于点Z. 证明：X，Y，Z三点共线.
CZMOYAX'DB
'【析】设Z是XY，AC的交点，下面证明：Z,O,D共线即可.
'设直线XYZ交圆O于点L，连结XD并延长交圆O于点P，那么?AXP??AXD?90?，从而
A,O,P三点共线，所以连结AOP，因为Z'是XY，AC的
交点，即XL与AC的交点，而延长CD交圆O于点G，则D点就是XP和CG的交点，此时考虑六点形CAPXLG，只要能证明O是AP和LG的交点即可由Pascal定理证得. 所以下面证明：L，O，G三点共线.
要证L，O，G三点共线，只要证：LB?BG
因为?LBA??LXA??YXA??YDA，所以LB//MD，
所以只要证MD?BG，这由?MDC??MCD??DBG可得. 证毕.
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30. 如图，过△ABC的顶点A、B、C各作一直线使之交于一点P，而分别交△ABC的外接圆于点A?、
B?、C?. 又在△ABC的外接圆上任取一点Q，证明：QA?、QB?、QC?与BC、CA、AB对应的
交点X、Z、Y三点共线.
AB'C'YPBA'XCZQ
证明：在圆内接六边形BCAA'QB'中，其三组对边BC与A'Q、CA与QB'、AA'与B'B的交点分别为X、Z、P.
由帕斯卡定理可知，P、X、Z三点共线.
在圆内接六边形CBAA'QC '中，其三组对边CB与A'Q、BA与QC '、AA'与C 'C的交点分别为X、Y、P.
由帕斯卡定理可知，P、Y、X三点共线. 故X、Z、Y三点共线.
31. 如图，点P在△ABC的内部，P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，过点A分别作直
线BP、CP的垂线，垂足分别为M、N. 求证：ME、NF、BC三线共点.
AAMNFPENFPEMBDCBDC
证明：由题设有∠AEP＝∠AFP＝∠AMP＝∠ANP＝90o. 从而，点A、N、F、P、E、M都在以AP为直径的圆上. 于是，对于圆内接六边形AFNPME，
它的三组对边AF与PM、FN与ME、NP与EA的交点分别为B、Q、C.
由帕斯卡定理可知，B、Q、C三点共线. 则点Q在直线BC上. 故ME、NF、BC三线共点.
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四、三角形五心
4.1 三角形的内心
三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心. 性质1：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.
性质2：设I为?ABC内一点，AI所在直线交?ABC的外接圆于D，I为?ABC内心的充要条件是：ID=DB=DC（鸡爪定理）
【证明】如图，必要性：连BI，由?DIB?知ID=BD=DC
充分性：由DB=DC，即知AD平分?BAC.由DI=DB，有?DIB?DBI 即?DBC??CBI??IAB??ABI，而?IAB??IAC??DBC 从而?CBI??IBA，即BI平分?ABC 故I为?ABC的内心.
性质3：设I为?ABC内一点，I?ABC的内心的充要条件是：?IBC,?ICA,?IAB的外心均在?ABC的外接圆上.
32. 已知，如图I为△ABC的内心，过I的BC的垂线交△ABC的外接圆于P、Q，PA、QA交BC
于E、F，求证：A，I，E，F四点共圆.
QA11?A??B??CBD??IBC??DBI 22IBEDCF
【析】如图，连结AI并延长交外接圆于S，
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交BC边于K，连结SP并延长与BC所在直线交于点J，连结AJ，IJ，IE， 由性质2可知SC=SI=SB， 因为?SCB?1?A??SAC??CPJ，所以?SCJ?180???SCB?180???CPJ??SPC. 2那么易知?SCP~?SJC，所以?KJS??SCP??SAP且SC2?SP?SJ，所以A，K，P，J四点共圆.
又因为SI2?SC2?SP?SJ??SIP~?SJI??SIP??SJI，
又因为?SAP??KJP，所以?IJB??IJS??KJS??SIP??SCP??SIP??IAP??IPE.
?IP?BC?IJ?AP，所以E为?IPJ的垂心，则
?IEB??IPJ?180???QPS?180???QAS??IAF
所以A，I，E，F四点共圆.
33. 已知：如图，O，I分别为△ABC的外心和内心，点B?为点B关于OI的对称点. 求证：过点I,B?作△BIB?外接圆的切线，交点在AC上.
【析】设O为?BIB外接圆圆心，则O在OI上，
'''延长BI交圆O于M，设MB交AC于E，由例1 知?MEI??MIB'?2?IBB'??IO'B'
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