高中数学必修一必修经典测试题100道（一）——孙庆仪
?x?2?2x?y?3?0?由已知，解得??5，y??4x?3y?9?0??25则两直线交点为（2，）.....................(4分）22 直线2x?3y?5?0的斜率为?，......（1分） 33则所求直线的斜率为 。........（1分）253故所求直线为y-?(x?2),................（3分）22即3x?2y?1?0..........................（1分）2.（14分） （1）取PD的中点E,连接AE,EN, ??????1分 ?N为中点，
?EN为?PDC的中位线1?EN//CD.......................（2分）2又?CD//AB ?EN//AM
?四边形AMNE为平行四边形...........（1分）?MN//AE又?MN?平面PAD,AE?平面PAD?MN//平面PAD........................（3分）（2）
?PA?平面ABCD,CD?平面ABCD,?PA?CD.......................（1分）?AD?CD,PA?AD?D?CD?平面PAD?CD?PD...........................（2分）
取CD的中点F,连NF,MF,.....................（1分）?NF//PD?CD?NF................（1分）又?CD?MF,NF?MF?F?CD?平面MNF...............（1分）?MN?平面MNF?MN?CD.............................（1分）3.（14分）
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高中数学必修一必修经典测试题100道（一）——孙庆仪
（1）由对数定义有则有
1?x? 0，?????（2分） 1?x?1?x?0?1?x?0 (1) 或(2).........................4分??1?x?01?x?0??解得（1）-1 都有 f(?x)?loga1?x1?x?loga(1?x?1)1?x??loga1?x1?x??f(x)， 则f(x)为奇函数?4分 4.14分 ?x2?2(x?0)（1）f(x)????????????.6分 ?2x?2(x?0)（2）f(5)?27 ????????????3分 （3）图略?????3分. 零点0，-1????????2分 5.14分 （1）设圆心C，由已知C(2,3) , ??????1分 AC所在直线斜率为则切线斜率为?5?3?2， ????????2分 3?21，?????????1分 21则切线方程为y?5??(x?3)。 ????????? 2分 2y（2）可以看成是原点O(0,0)与P(x,y)连线的斜率，则过原点与圆相切的直线的斜率为 x所求。?????1分 圆心（2，3），半径1，设 y=k，?????1分 x则直线y?kx为圆的切线，有3k?21?k2?1，??????2分 解得k?3?3，??????2分 4所以 y3?33?3的最大值为，最小值为 ??????2分 x44 12 高中数学必修一必修经典测试题100道（一）——孙庆仪 6.14分 ??2P?50(14?P?20)?（1）Q??3 ????????4分 ?P?40(20?P?26)??2（2）当14?P?20时，(P?14)(?2P?50)?100?3600?2000?0,?????1分 即P?39P?378?0，解得18?P?21，故18?P?20; ???????2分 23P?40)?100?3600?2000?0, ???????1分 2562?P?22，故20?P?22。???????2分 即3P?122P?1232?0，解得3所以18?P?22 当20?P?26时，(P?14)(?（4） 每件19.5元时，余额最大，为450元。?? 4分 7[解答]：由x2?4x?3?0,?x?1?0，得x?1，所以依对数的性质有： 当a?1时，x2?4x?3??x?1,?x2?3x?2?0,?1?x?2，又x?1，此时不等式无解； 当0?a?1时，x2?4x?3??x?1,?x2?3x?2?0,?x?2或x?1，又x?1，?x?1，综上：当a?1时，不等式无解；当0?a?1时，不等式的解集为?x|x?1?． ????8[解答]：（Ⅰ） 若点A,B,C能构成三角形，则这三点不共线，?AB?(3,1), ????∴x,y满足的条件为3y?x?1（若根据点A,B,CAC?(2?x,1?y), ∴3(1?y)?2?x， 能构成三角形，必须|AB|?|BC|?|AC|，相应给分）； ????????????????（Ⅱ）若?B为直角，则AB?BC，∴3(?x?1)?y?0， ?AB?(3,1),BC?(?x?1,?y)， ?????????x?0?x??2 又|AB|?|BC|，∴(x?1)2?y2?10，再由y?3(?x?1)，解得?或?． y??3y?3???[9解答]：（Ⅰ）设P(x,y)是函数f(x)?sinx的图象上任意一点，按向量a?(??,?3)平 ''???x?x???x?x??移后在函数g(x)的图象上的对应点为P(x,y)，则：?'，∴?，即 '???y?y?3?y?y?3'''y'?3?sin(x??)，所以函数g(x)??sinx?3； （Ⅱ）?F(x)?f(x)?111?sinx??sinx?3??3，令t?sinx? g(x)sinx?3sinx?3 13 高中数学必修一必修经典测试题100道（一）——孙庆仪 113?[2,4]，而函数?(t)?t?在[2,4]上是增函数，所以当t?2时，?(t)min?2?，即 t21当sinx??1时，F(x)min??． 210[ 解 答 ] ：（ Ⅰ ） ?C?π?(A?B)， cosA?41717， ?tanA?14?tanC??tan(A?B)? 13?45??1．又?0?C?π，?C?3π； ?1341??45（Ⅱ）?C?3????，?AB边最大，即AB?17．又?tanA?tanB，A，B??0，?， 4???ABBC41717?，? sinA?．由得：sinCsinA1717?角A最小，BC边为最小边．?cosA?sinABC?AB??2，所以，最小边BC?2． sinC[11解答]：（Ⅰ）如图，延长PO交AB于点Q，由题设可知BQ?AQ?1AB?5，2AO?BO，PO?5?OQ，在Rt?ABC中，AO?5,OQ?5tan?，cos??y?AO?BO?PO??y?10??5?5tan?，又?0???，cos?410??5tan??5,(0???)； cos?42?sin??102?sin?,0???，则 ?5tan??5?5??5，令u?（Ⅱ）?y?cos?4cos?cos?ucos??sin??2,?u2?1sin(???)?2,(tan??u)，?sin(???)?2u?12?1， ，当u?3时，???u?3或u??3（舍）?3,????[0,]，所以y最小，即医疗64?站的位置O满足???6,AO?BO?10353km,PO?5?km，可使得三个乡镇到医疗33站的距离之和最短． 222222[12解答]：（Ⅰ）令y?bx?(b?c?a)x?c，由余弦定理b?c?a?2bccosA， 222???(b2?c2?a2)2?4b2c2?4b2c2cos2A?4b2c2?4b2c2(cos2A?1)，在三角形中 14 高中数学必修一必修经典测试题100道（一）——孙庆仪 cos2A?1，???0，再由b2?0得：不论x取何值总有b2x2?(b2?c2?a2)x?c2?0； （Ⅱ）要证 c?1a?b?1，即证[2(a?b)?1](c?1)?(a?b?1)(a?b?c?1)， ?a?b?c?12(a?b)?122整理得：a?b?2ab?ac?bc?0，亦即证：(a?b)(a?b?c)?0，因为在三角形中 a?b?c,?a?b?c?0，所以(a?b)(a?b?c)?0成立，则原不等式成立； （Ⅲ）由（Ⅱ）得： 111?c?11? ?????a?b?c?1(c?1)(a?b?1)c?1?a?b?c?1a?b?1??t?1a?b?111?a?b?11?t?a?b? ??，令，则??2t?12(a?b)?1a?b?1c?1?2(a?b)?1a?b?1??1t2??t?12t2?3t?1即原不等式成立. 1?a?b?11?11111所以 ???，?2(a?b)?1a?b?1?c?1?2?6，31c?12??2?(?2)tt11?x????2x?17y?9?01113?2713．(1)、解：由方程组?，解得?，所以交点坐标为. （?，?）7x?8y?1?0132727??y???27?P 1A 又因为直线斜率为k??， 所以求得直线方程为27x+54y+37=0. 2O C （2）、．解：如图易知直线l的斜率k存在，设直线l的方程为y?5?k(x?5). 圆C：x2?y2?25的圆心为（0，0）, 半径r=5，圆心到直线l的距离d?2225?5k1?k2. (5?5k)2?(25)2?25.?2k2?5k?2?0， ∴ 在Rt?AOC中，d?AC?OA，21?k1k?2或k?. 2l的方程为2x?y?5?0或x?2y?5?0. 14．解：①P(x)= R(x)- C（x)= -20x+2500x-4000 (x∈N*,且x∈[1,100])； MP(x)= P(x+1)- P(x)=-40x+2480(x∈N*,且x∈[1,100])； ②P(x)= -20（x-1252 ）+74125 2 2 (x∈N*,且x∈[1,100])；则当x=62或63时，P（x)max=74120（元），因为MP(x) =-40x+2480为↘，则当x=1时，MP(x)max =2440元，故利润函数与边际利润函数不具有相等的最大值。 15．解：（1）证明：连结AC，AC交BD于O．连结EO．∵ 底面ABCD是正方形，∴ 点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴ PA//EO．而EO?平面EDB，且PA?平面EDB，所以，PA//平面EDB． （2）证明：∵ PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD， ∴ PD⊥DC. 15