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2009届全国名校真题模拟专题训练08
三、解答题(第三部分)
圆锥曲线
51、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知直线l过椭圆E:x2?2y2?2的右焦点F，且与E相交于P,Q两点.
????1????????(1)设OR?(OP?OQ)（O为原点），求点R的轨迹方程；
211?(2)若直线l的倾斜角为60°，求的值. |PF||QF|解：(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x,y)
x1?x2?x??????1????????1?2 OR?(OP?OQ)?(x,y)?[(x1,y1)?(x2,y2)]??22?y?y1?y2?2?2x?y2?1，易得右焦点F(1,0) 由x2?2y2?2?2----------（2分）
当直线l?x轴时，直线l的方程是：x?1，根据对称性可知R(1,0) 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y?k(x?1) y P o Q F x 4k2代入E有(2k?1)x?4kx?2k?2?0??8k?8?0; x1?x2?2----（5分）
2k?1x1?x22k2?2于是R(x,y): x?; y?k(x?1) 22k?1消去参数k得x2?2y2?x?0而R(1,0)也适上式，故R的轨迹方程是x2?2y2?x?0-（8分）
(2)设椭圆另一个焦点为F'， 在?PF'F中?PFF'?1200,|F'F|?2,设|PF|?m，则|PF'|?22?m
2由余弦定理得(22?m)2?22?m2?2?2?m?cos1200?m? 22?122222同理，在?QF'F，设|QF|?n，则|QF'|?22?m 也由余弦定理得(22?n)2?22?n2?2?2?n?cos600?n?于是
222?1 111122?122?1??????22 ---------（12|PF||QF|mn22分）
x2y252、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、
ab右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点A在双曲线的右支上，点B在双曲线左准线上，
F2O?AB,OF2?OA?OA?OB.
（1）求双曲线的离心率e；
（2）若此双曲线过C（2，3），求双曲线的方程；
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（3）在（2）的条件下，D1、D2分别是双曲线的虚轴端点（D2在y轴正半轴上），过D1
的直线l交双曲线M、N，D2M?D2N,求直线l的方程。
解：（1）F2O?AB,?四边形F2ABO是平行四边形
OA(OF2?OB)?0,即OA?BF2?0 ?OA?BF2,
∴四边 形F2ABO是菱形. ∴|AB|?|F2A|?|F2O|?c. 由双曲线定义得|AF1|?2a?c,e?|AF1||AB|?2a?c2??1, ce?e2?e?2?0,
?e?2(e??1舍去) （2）e?2?2c, a2x2y2?c?2a,b?3a，双曲线方程为2?2?1, a3a把点C(2,3)代入有432??1.?a?3, 22a3ax3y2??1. ∴双曲线方程39（3）D1（0，－3），D2（0，3），设l的方程为y?kx?3,M(x1,y1),N(x2,y2)
?y?kx?3?则由?x2?(3?k2)x2?6kx?18?0 y2?1??9?3因l与与双曲线有两个交点，
?k??3.
?x1?x2??6k?18,x?x? 123?k23?k2?18?y1?y2?k(x1?x2)?6?,y1?y2?k2x1x2?3k(x1?x2)?9?9 23?k?D2M?(x1,y1?3),D2N?(x2,y2?3),D2M?D2N,
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?x1?x2?y1?y2?3(y1?y1)?9?0
??18?182?9?3?9?0.即k?5, 223?k3?k?k??5.故所求直线l方程为y?5x?3或y??5x?3
53、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)直线AB过抛物线x＝2py(p>0)的焦点F，并与其
相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点．
2
(1)求????MN?2???MB?的取值范围；
(2)过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点．
求证：????MN?2???OF?＝0，???NQ?∥???OF?．
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54、设圆满足:（1）截直线y=x所得弦长为2;（2）被直线y=－x分成的一段劣弧所在的扇1
形面积是圆面积的倍．在满足条件（1）、（2）的所有圆中,求圆心到直线x+3y=0的距离
4最小的圆的的方程．
解：设所求圆的圆心为P（a,b）,半径为r,
则P到直线y=x、直线y=－x的距离分别为
a?b2、
a?b2．???（2分）
由题设知圆P截直线y=－x所得劣弧所对圆心角为90°, a?b2?2r?2??圆P截直线y=－x所得弦长为2r,故r=?2??（2）， ??即r=（a+b），????????（4分） 2
2
2(a?b)2又圆P截直线y=x所得弦长为2，所以有r=1+, 2222从而有a?6ab?b?2．????????（6分） 又点P到直线x+3y=0的距离为d=
2
2
2
2
2
a?3b10,
所以10d=|a+3b|=a+6ab+9b=8b+2≥2????????（8分） 当且仅当b=0时上式等号成立,
此时5d=1,从而d取得最小值,由此有a=±2,r=2．????（10分）
2
于是所求圆的方程为（x－2）+y=2或（x－2）+y=2????（12分）
2
2
2
2
55、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)已知椭圆＋y＝l的左焦点为F，O为坐标原
2
点．
( I )求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
(Ⅱ)设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x＋y＝0上，求直
线AB的方程．
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56、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知P(?3,0),点R在y轴上，点Q在x的正半轴上，点M在直线RQ上，且PR?RM?0,RM??（1）当R在y轴上移动时，求M点轨迹C；
（2）若曲线C的准线交x轴于N，过N的直线交曲线C于两点AB，又AB的中垂线
交x轴于点E，求E横坐标取值范围； （3）在（2）中，?ABE能否为正三角形. 解：(1)设M(x1,y1)则由RM??3MQ. 23MQ得 2883yR(0,?)又由PR?RM?0得 (3,?).(x,)?0.
2222即y?4x??????????4分 (2)由(1)知N（－1，0）设得：y?k(x?1)
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