更多资源 www.duodongz.com
?y2?4x.由?得k2x2?2(k2?2)x?k2?0 ?y?k(x?1)由??0得k?1且k?0 设A(x1,y1),B(x2,y2)
22k?k2对x1?x2?k2y1?y2?k(x1?x2?2)?4 k2?k22,) ∴AB的中点为(2kk212?k2) ∴AB的中点为y???(x?2kkk令y?0得x0?即x0＞3. 57、(湖北省八校高2008第二次联考)已知A,B是抛物线x2?2py?p?0?上的两个动点，O为????????????????????????坐标原点，非零向量OA,OB满足OA?OB?OA?OB． 2?1?3 2k（Ⅰ）求证：直线AB经过一定点； （Ⅱ）当AB的中点到直线y?2x?0的距离的最小值为25时，求5p的值．
????????????????解：?OA?OB?OA?OB, ?OA?OB.设A,B两点的坐标为（x1,y1），（x2,y2）则
2x12?2py1,x2?2py2. （1）经过A，B两点的直线方程为(x2?x1)(y?y1)?(y2?y1)(x?x1).
22x12x2x2x12,y2? 由y1?，得(x2?x1)(y?y1)?(?)(x?x1). 2p2p2p2p ?x1?x2?y?y1?x2?x1x?xxx(x?x1). 令x?0，得y?y1?21(?x1), ?y??12.
2p2p2p????????x12x22?0?OA?OB?x1x2?y1y2?0,从而x1x2??xx?0OA,OB. (否则, 有一个124p2为零向量),
得 y?2p ，（6?x1x2??4p2. 代入①，?AB始终经过定点?0,2p?. ?????
分）
（2）设
AB中点的坐标为(x,y)，则x1?x2?2x,1y?2 y?2,y2?x12?x2?2py1?2py2?2p(y1?y2).
更多资源 www.duodongz.com
更多资源 www.duodongz.com
2 又?x12?x2?(x1?x2)2?2x1x2?(x1?x2)2?8p2, ?4x2?8p2?4py，
即 y?12x?2p.?????① py?2x5AB的中点到直线y?2x?0的距离d?12x?2p?2xp5. 1(x?p)2?pp5将①代入，得d?因为d的最小值为?1(x?p)2?pp5?.
25p25,??,?p?2. ?????（12分） 555（若用导数求切线的斜率为2的切点坐标，参考给分.）
58、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)已知半圆x2?y2?4(y?0)，动圆M与此半圆相切且与x轴相切。
（1）求动圆圆心M的轨迹方程。
（2）是否存在斜率为3的直线l，它与（1）中所得轨迹由左到右顺次交于A、B、C、D四
个不同的点，且满足|AD|=2|BC|？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由。 （1）设动圆圆心M(x,y)，作MN⊥x轴于点N 22①若两圆外切： |MO|?|MN|?2，则x?y?y?2 化简得：
1x2?y2?y2?4y?4? x2?4(y?1) (y?0)?????3分
22②若两圆内切： |MO|?2?|MN|，则x?y?2?y? x2?y2?4?4y?y2
? x2??4(y?1) (y?0)?????5分
综上，动圆圆心的轨迹方程是
x2?4(y?1) (y?0)及x2??4(y?1) (y?0)???6分
其图象为两条抛物线位于x轴上方的部分，如图所示。 （2）假设直线l存在，可设l的方程为y?3x?b。
依题意得，它与曲线x?4(y?1)交于点A,D，与曲线x??4(y?1)交于点B,C。 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。即
错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。3x2?错误！未找到引用源。4x?12b?12?0 3x2?4x?12b?12 ?0 ② ①
221)2|xA?xD|， |BC|?1?(1)2|xB?xC| |AD|?1?(133?|AD|?2|BC| ?|xA?xD|=2|xB?xC|
更多资源 www.duodongz.com
更多资源 www.duodongz.com
424(即3)+3442((12b?12)=4[3)－3(12b?12) 得b?3?????11分
102将其代入方程①得 xA??2 xD?3
因为曲线x2?4(y?1)的横坐标范围为(??,?2)?(2,??)，所以这样的直线l不存在。?????13分
x2y259、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别
ab是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足|F1Q|?2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT?TF2?0,|TF2|?0. ????c （Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|F1P|?a?x；
a （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b2.若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由． 解 （Ⅰ）设点P的坐标为（x,y）,由P（x,y）在椭圆上，得 ????c2b222222|F1P|?(x?c)?y?(x?c)?b?2x?(a?x).aa又由x??a,知a?cx??c?a?0， a????c所以|F1P|?a?x. a （Ⅱ） 当|PT|?0时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上．
????????????????????????当|PT|?0且|TF2|?0时，由|PT|?|TF2|?0，得PT?TF2． ?????????又|PQ|?|PF2|，所以T为线段F2Q的中点．
????1????在△QF1F2中，|OT|?|FQ|?a，所以有x2?y2?a2. 12综上所述，点T的轨迹C的方程是x2?y2?a2.
22?x0?y0?a2,2（Ⅲ） C上存在点M（x0,y0）使S=b的充要条件是??12??2c|y0|?b.?2③④
2b2b. 所以，当a?时，存在点M，使S=b2； 由③得|y0|?a，由④得|y0|?cc更多资源 www.duodongz.com
更多资源 www.duodongz.com
2当a?b时，不存在满足条件的点M．
c2??????????b当a?时，MF1?(?c?x0,?y0),MF2?(c?x0,?y0)， c??????????22由MF1?MF2?x0?c2?y0?a2?c2?b2，
????????????????????MF1?MF2?|MF1|?|MF2|cos?F1MF2， S???????1????|MF1|?|MF2|sin?F1MF2?b2，得tan?F1MF2?2. 2【总结点评】平面向量与椭圆的综合问题是《考试大纲》所 强调的问题，应熟练掌握其解题技巧，一般地，在这类问题 种，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会 在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几 何的基本方法和基本思想，比如本题（Ⅰ）本质是焦半径公 式，核心内容还是椭圆的第二定义的转化思想．（Ⅱ） 由
“PT其实为线段QF2的垂直平分线”可联想到下面的题目：如右图，Q为长轴为2a椭圆上一动点，QP是∠F1QF2的外角平分线，且F1P⊥QP，延长F2Q，使F2Q与F1P交于点M，则|QF1|=|QM|，所以点M的轨迹是以F2为圆心2a为半径的圆，进一步可得到P的轨迹是以O为圆心a为半径的圆．
60、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)已知直线
x2y2x?y?1?0与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于A、B两点，M是线段AB上的一点，
abAM??BM，且点M在直线l:y? （Ⅰ）求椭圆的离心率； 1x上. 222 （Ⅱ）若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆x?y?1上，求椭圆的方程. 解：（Ⅰ）由AM??BM知M是AB的中点，
设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)
?x?y?1?0,?由?x2y2?2?2?1.b?a得:(a2?b2)x2?2a2x?a2?a2b2?0
2a22b2x1?x2?2,y1?y2??(x1?x2)?2?2， 22a?ba?ba2b2,2) ∴M点的坐标为(222a?ba?b4分
更多资源 www.duodongz.com
更多资源 www.duodongz.com
a22b2?2?0 又M点的直线l上：?222a?ba?b?a2?2b2?2(a2?c2)?e?c2?. a2?a2?2c2
7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b?c，不妨设椭圆的一个焦点坐标为F(b,0),设F(b,0)关于直线l：
y?1x上的对称点为(x0,y0)， 2?y0?013????1,x?b???x0?b2?05则有? 解得:??x0?b?2?y0?0.?y?4b.0??5?2?22222由已知x0?y0?1,?(b)?(b)?1, 10分
3545x2?y2?1 ?b?1，∴所求的椭圆的方程为2212分
61、(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)在△ABC中AC?23，B是椭圆
x2y2??1在x轴上方的顶点，l是双曲线x2?y2??2位于x轴下方的准线，当AC在直54线l上运动时。 (1)求△ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程；
(2)过定点F(0,)作互相垂直的直线l1,l2，分别交轨迹E于M、N和R、Q，求四边形MRNQ面积的最小值。 32x2y2??1及双曲线方程x2?y2??2可得点B(0,2),直线l方程是解：（1）由椭圆方程54y??1
?AC?23,且AC在直线l上运动。 可设A(m?3,?1),C(m?3,?1),
则AC的垂直平分线方程为x?m ① AB的垂直平分线方程为y?1m?3m?3?(x?) ② 222更多资源 www.duodongz.com