(2)易知直线AB的斜率一定存在,设为k, 则AB:y-2=k(x-4),
联立抛物线x=4y,消元,整理得:x-4kx+16k-8=0,
2?x12???x2,Bx,设A?x1,??2?,则x1+x2=4k,x1x2=16k-8. 44????2
2
|AB|=1?k2|x1-x2|
?1?k2(x1?x2)2?4x1x2=41?k2k2?4k?2. 又y=
xx12xx求导得y′=,故抛物线在A,B两点处的切线斜率分别为1,2, 42222x1x12x2x2x?, 故在A,B点处的切线方程分别为l1:y=x?和l2:y=2424于是,l1与l2的交点坐标为??x1?x2x1x2?,?, 4??2即N(2k,4k-2)
点N到直线AB的距离d=2|k2?4k?2|1?k2
故S△NAB=
1|AB|?d?4(k2?4k2?2)3. 2223故4(k?4k?2)?287,即k2?4k?2?7, 得k=-1或5,
故点N的坐标为(-2,-6)或(10,18).
19.(20112安徽省皖南八校高三摸底联考)已知圆C:(x-4)+(y-m)=16(m∈N),直线
2
2
?
11
32x2y24x-3y-16=0过椭圆E:2?2 =1(a>b>0)的右焦点,且交圆C所得的弦长为,点A(3,1)
5ab在椭圆E上.
(1)求m的值及椭圆E的方程;
????????(2)设Q为椭圆E上的一个动点,求AC?AQ的取值范围.
32, 52解:(1)因为直线4x-3y-16=0交圆C所得的弦长为
12?16?2所以圆心C(4,m)到直线4x-3y-16=0的距离等于4????,
55??即
|4?4?3?m?16|12?,
55∴m=4或m=-4(舍去).
又因为直线4x-3y-16=0过椭圆E的右焦点, 所以右焦点坐标为F2(4,0),
则左焦点F1的坐标为(-4,0),又椭圆E过A点, 因为|AF1|+|AF2|=2a,
所以2a=52?2?62,a?32,a=18,b=2,
2
2
x2y2? =1. 故椭圆E的方程为:
182????????(2)解法一:AC =(1,3),设Q(x,y),则AQ=(x-3,y-1).
?x2y2?1??设x+3y=n,则由?18 2?x?3y?n?,消x得18y-6ny+n-18=0,
12
2
2
由于直线x+3y=n与椭圆E有公共点,
所以Δ=(6n)-43183(n-18)≥0,所以-6≤n≤6,
2
2
????????故AC?AQ=x+3y-6的取值范围为[-12,0]. ????解法二:AC =(1,3),设Q(x,y),
????????????则AQ?(x?3,y?1),AC?AQ=(x-3)+3(y-1)=x+3y-6.
x2y2?=1, ∵x+(3y)≥2|x|2|3y|,而
1822
2
即x+(3y)=18,∴-18≤6xy≤18.
∴(x+3y)=x+(3y)+6xy=18+6xy的取值范围是[0,36], 即x+3y的取值范围是[-6,6].
2
2
2
22
????????∴AC?AQ=x+3y-6的取值范围是[-12,0].
x2y2220.(20112安徽省合肥市高校附中高三联考)已知离心率为的椭圆C1:2?2
ab2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1?F2,椭圆C1与抛物线C2:y=-x的交点的横坐标为-2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如果直线l:y=kx+m与椭圆相交于P1?P2两点,设直线P1F1与P2F1的倾斜角分别为α,β,
当α+β=π时,求证:直线l必过定点.
2
c2b21b2122
解:(1)由于e=2?1?2?,2?,a=2b.
aa2a22
又因为该椭圆与抛物线y=-x的交点的横坐标为-2,
2
(?2)2242
??1,所以y=2,代入=1,b=4, 2222bbb2
13
∴a=8,
2
x2y2?=1. 所以椭圆方程为84x2y2?=1与y=kx+m得到 (2)证明:联立84(2k+1)x+4mkx+2m-8=0,
2
2
2
4mk2m2?8x1+x2=-2,x1x2=.
2k?12k2?1设直线P1F1与P2F1的倾斜角分别为α,β,当α+β=π时, 若设k1?kP1F1,k2?kP2F1,
k1=tanα,k2=tanβ=tan(π-α)=-tanα=-k1, ∴k1+k2=0.
k1=
y1kx?my2kx?m,k2=, ?1?2x1?2x1?2x2?2x2?2kx1?mkx2?m ?x1?2x2?2k1+k2=
=
(kx1?m)(x2?2)?(kx2?m)(x1?2)
(x1?2)(x2?2)2kx1x2?(2k?m)(x1?x2)?4m
(x1?2)(x2?2)=
2k(2m2?8)?(2k?m)(?4mk)?4m(2k2?1)=
(x1?2)(x2?2)(2k2?1)14
=
?16k?4m?0, 2(x1?2)(x2?2)(2k?1)所以m=4k,直线方程为y=kx+4k=k(x+4), 故直线过定点(-4,0).
21.(20112安徽省皖南八校高三第一次联考)已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为
1,且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4;l1、l2是过点P(0,2)且互相垂2直的两条直线,l1交E于A,B两点,l2交E于C,D两点,AB,CD的中点分别为M,N.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求l1的斜率k的取值范围;
(3)求证直线OM与直线ON的斜率乘积为定值(O为坐标原点).
x2y2解:(1)设椭圆方程为2?2=1(a>b>0),
ab?c1?a?2???a?2,由?2a?4得?
?b?3.?A2?b2?c2???x2y2??1. ∴椭圆方程为43(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为零,
∵l1:y=kx+2,∴l2:y=-
1x+2. k?x2y2?1??由?4 3?y?kx?2?消去y并化简整理,
15
得(3+4k)x+16kx+4=0.
根据题意,Δ=(16k)-16(3+4k)>0,
2
2
2
22
解得k>
1. 42?1?12
同理得????,k<4,
?k?4121??1?? (3)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 那么x1+x2=?x1?x216k8k??,∴x, 0= 3?4k223?4k2y0=kx0+2= 68k6??,∴M, ?,?222?3?4k?3?4k3?4k????1?8?????6k??,?, 同理得N??22??1??1???3?4???3?4?????k??k????8?6即N?k,?3?423?42kk?∴kOM2kON=- ???, ??33k9???, 4k4169. 16即直线OM与直线ON的斜率乘积为定值- 16