3．2.2 & 3.2.3 直线的两点式方程、直线的一般式方程
[提出问题]
某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处，并使区商业中心O到A、
B两处的距离之和最短．
问题1：在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A、B能否确定？
提示：可以确定．
问题2：根据上图知建立平面坐标系后，A、B两点的坐标值相当于在x轴、y轴上的什么量？
提示：在x轴、y轴上的截距．
问题3：那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？ 提示：可以． [导入新知]
直线的两点式与截距式方程
条件 两点式 截距式 在x轴上截距a，在y轴上截距b P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2 图形 方程 y－y1x－x1＝ y2－y1x2－x1不表示垂直于坐标轴的直线 xy＋＝1 ab不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线 适用范围 [化解疑难] 1．要注意方程
y－y1x－x1
＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，适用y2－y1x2－x1
范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．
2．直线方程的截距式为＋＝1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：－＝1，＋＝－1就不是直线的截距式方程.
3434
[提出问题] 观察下列直线方程 直线l1：y－2＝3(x－1) 直线l2：y＝3x＋2
xyabxyxyy－2x－1
直线l3：＝ 3－24－1
直线l4：＋＝1
43
问题1：上述直线方程的形式分别是什么？ 提示：点斜式、斜截式、两点式、截距式．
问题2：上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax＋By＋C＝0的形式吗？ 提示：能．
问题3：二元一次方程Ax＋By＋C＝0都能表示直线吗？ 提示：能． [导入新知]
1．直线与二元一次方程的关系
(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．
(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线． 2．直线的一般式方程的定义
我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
[化解疑难]
1．求直线的一般式方程的策略
(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
xyBACABCAAABCBACBB2．直线的一般式转化为其他形式的步骤 (1)一般式化为斜截式的步骤 ①移项得By＝－Ax－C；
②当B≠0时，得斜截式：y＝－x－. (2)一般式化为截距式的步骤
①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C； ②当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1；
－C－C③化为截距式：＋＝1.
CC－－
ABCBAxByxyAB由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．
[例1] 三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．
y－－
[解] 由两点式，直线AB所在直线方程为：
0－－
同理，直线BC所在直线方程为：
x－3＝，即x＋4y＋1＝0. －1－3
x－1＝，即2x＋y－5＝0. －1－33－1
直线AC所在直线方程为：
y－3
y－3
x－1＝，即3x－2y＋3＝0. 0－3－1－1
[类题通法]
求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．
[活学活用]
1．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________． (2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
解析：(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.
(2)由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为
y－－
4－－
＝
，即x＋y－1＝0.－3－2
x－2
又点P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2.
答案：(1)x＝2 (2)－2
4
[例2] 直线l过点P(，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标
3原点．
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程． (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．
[解] (1)设直线l的方程为
xy＋＝1(a＞0，b＞0)， ab由题意知，a＋b＋a＋b＝12. 4
又因为直线l过点P(，2)，
3422
所以＋＝1，即5a－32a＋48＝0，
3ab2
2
??a1＝4，解得?
?b1＝3，?
12
a＝，??5?9??b＝2，
22
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0 或15x＋8y－36＝0.
(2)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)， 42
由题意知，ab＝12，＋＝1，
3ab消去b，得a－6a＋8＝0， 解得?
?a1＝4，?
2
xyab??b1＝3，
?a2＝2，?
???b2＝6，
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. [类题通法]
用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．
(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．
(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．
[活学活用]
2．求经过点A(－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程． 解：设直线在x轴、y轴上的截距分别是a、b， 1
则有S＝|a·b|＝1.
2
∴ab＝±2.设直线的方程是＋＝1.
－222a∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得＋＝1，即b＝. aba＋22a2a2
∴ab＝＝±2.当＝－2时，化简得a＋a＋2＝0，方程无解；
a＋2a＋22a2
当＝2时，化简得a－a－2＝0， a＋2
??a＝－1，解得?
??b＝－2，
2
2
2
xyab
x??a＝2，或???b＝1.
∴直线方程是＋＝1或＋＝1，即2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0. －1－221
[例3] (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
[解] (1)法一：由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0.
yxyl2：mx＋3y－2＝0.
①当m＝0时，显然l1与l2不平行． ②当m≠0时，l1∥l2， 2m＋14
需＝≠. m3－2
解得m＝2或m＝－3.∴m的值为2或－3. 法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2. 当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.