同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
l1与l2不重合，l1∥l2，
∴m的值为2或－3.
(2)法一：由题意，直线l1⊥l2，
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0，显然垂直． 3
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
2
a＋2a－1
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－，
1－a2a＋3
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
a＋2a－1
即(－)·(－)＝－1，所以a＝－1.
1－a2a＋3
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 法二：由直线l1⊥l2，
所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， 解得a＝±1.
将a＝±1代入方程，均满足题意． 故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. [类题通法]
1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋
By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
[活学活用]
3．(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程； (2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程． 解：(1)法一：设直线l的斜率为k， 3∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－.
4又∵l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y－2＝ 3
－(x－1)，即3x＋4y－11＝0. 4
法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0. ∵l经过点(1,2)，
∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11. ∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0. (2)法一：设直线l的斜率为k. ∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直， ∴k·(－2)＝－1， 1∴k＝. 2
又∵l经过点A(2,1)，
1
∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.
2
法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. ∵直线l经过点A(2,1)， ∴2－2×1＋m＝0， ∴m＝0.
∴所求直线l的方程为x－2y＝0. 3.探究直线在坐标轴上的截距问题
[典例] 求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程． [解] 当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0， 11
满足题意．此时，直线的斜率为，所以直线方程为y＝x.
22
xy42
当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，又过点A，所以＋＝1(1)．
abab因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|＝|b|(2)．
??a＝6，
由(1)(2)联立方程组，解得?
?b＝6，?
??a＝2，
或?
?b＝－2.?
所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
662－2化简得直线l的方程为x＋y＝6或x－y＝2. 1
综上，直线l的方程为y＝x或x＋y＝6或x－y＝2.
2[多维探究] 1．截距相等问题
求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
xyxy1
解：(1)当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为，21
所以直线方程为y＝x.
2
(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，又过A(4,2)， ∴a＝6，
∴方程为x＋y－6＝0，
1
综上，直线方程为y＝x或x＋y－6＝0.
22．截距和为零问题
求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． 解：(1)同上
(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为－＝1.又过A(4,2)， ∴
4－2
＝1，即a＝2，
xyaaxyaaa∴x－y＝2.
1
综上，直线l的方程为y＝x或x－y＝2.
23．截距成倍数问题
求过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍，求直线l的方程． 解：(1)同上
(2)当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，
3aa又直线过A(4,2)， 42
所以＋＝1，
3aa10
解得a＝，
3方程为x＋3y－10＝0.
1
综上，所求直线方程为y＝x或x＋3y－10＝0.
24．截距和是定数问题
求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程． 解：设直线l的方程为＋＝1，
xyxyab42??＋＝1，
由题意?ab??a＋b＝12.∴4b＋2a＝ab，
即4(12－a)＋2a＝a(12－a)， ∴a－14a＋48＝0， 解得a＝6或a＝8.
??a＝6，因此?
?b＝6，?
2
??a＝8，
或?
?b＝4.?
∴所求直线l的方程为x＋y－6＝0或x＋2y－8＝0. [方法感悟]
如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况．
[随堂即时演练]
1．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为( )
34A．1 C．7
B．－1 D．－7
xy解析：选B 直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 2．直线3x－2y＝4的截距式方程是( ) A.
3xy－＝1 423xy－＝1 4－2
B.－＝4 1132D.＋＝1 4－23
xyC.
xy解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为＋＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．
3．直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________．
xyaby－2x－－
解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：＝5－22－－y＋3＝0.
答案：x－y＋3＝0
4．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．
，整理得x－
解析：由直线点斜式方程可得
y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
5．三角形的顶点坐标为A(0，－5)，B(－3,3)，C(2,0)，求直线AB和直线AC的方程． 解：∵直线AB过点A(0，－5)，B(－3,3)两点，
y＋5x－0由两点式方程，得＝.
3＋5－3－0
整理，得8x＋3y＋15＝0.
∴直线AB的方程为8x＋3y＋15＝0. 又∵直线AC过A(0，－5)，C(2,0)两点， 由截距式得＋＝1，
2－5整理得5x－2y－10＝0，
∴直线AC的方程为5x－2y－10＝0.
[课时达标检测]
一、选择题
1．平面直角坐标系中，直线x＋3y＋2＝0的斜率为( ) A.3 3
B．－3 3
xyC.3 答案：B
D．－3
2．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件( ) A．bc＝0 C．bc＝0且a≠0
B．a≠0
D．a≠0且b＝c＝0
解析：选D y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足条件为a≠0且b＝c＝0. 3.已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则( ) A．若c＞0，则a＞0，b＞0 B．若c＞0，则a<0，b＞0 C．若c＜0，则a>0，b<0 D．若c<0，则a>0，b＞0
解析：选D 由ax＋by＋c＝0，得斜率k＝－，直线在x、y轴上的截距分别为－、－. abcacb