当a?b时，(a?b)2?0?22a?b?2ab ??2当a?b时，(a?b)?0?1．指出定理适用范围：a,b?R 2．强调取“=”的条件a?b 二、定理：如果a,b是正数，那么
a?b?ab（当且仅当a?b时取“=”） 2证明：∵(a)2?(b)2?2ab ∴a?b?2ab 即：
a?ba?b?ab 当且仅当a?b时 ?ab 22注意：1．这个定理适用的范围：a?R?
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 三、推广：
定理：如果a,b,c?R?，那么a3?b3?c3?3abc
（当且仅当a?b?c时取“=”）
证明：∵a3?b3?c3?3abc?(a?b)3?c3?3a2b?3ab2?3abc
?(a?b?c)[(a?b)2?(a?b)c?c2]?3ab(a?b?c) ?(a?b?c)[a2?2ab?b2?ac?bc?c2?3ab] ?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca)
?1(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2] 2∵a,b,c?R? ∴上式≥0 从而a3?b3?c3?3abc 指出：这里a,b,c?R? ∵a?b?c?0就不能保证 推论：如果a,b,c?R?，那么
a?b?c3?abc 3（当且仅当a?b?c时取“=”）
证明：(3a)3?(3b)3?(3c)3?33a?3b?3c?a?b?c?33abc
a?b?c3?abc 3 四、关于“平均数”的概念
?
1．如果a1,a2,?,an?R?,n?1且n?N? 则：
a1?a2???an叫做这n个正数的算术平均数
nna1a2?an叫做这n个正数的几何平均数
2．点题：算术平均数与几何平均数 3．基本不等式：
a1?a2???ann≥a1a2?an
n n?N*,ai?R?,1?i?n
这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
a?b?ab的几何解释： 4．2以a?b为直径作圆，在直径AB上取一点C，
D 过C作弦DD’?AB 则CD2?CA?CB?ab
A a C b B D’ 从而CD?ab 而半径
a?b?CD?ab 2五、例一 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2?b2?c2?ab?bc?ca
证：∵a2?b2?2ab b2?c2?2bc c2?a2?2ca 以上三式相加：2(a2?b2?c2)?2ab?2bc?2ca ∴a2?b2?c2?ab?bc?ca
六、小结：算术平均数、几何平均数的概念
基本不等式（即平均不等式）
七、作业：P11-12 练习1、2 P12 习题5.2 1--3
a补充：1．已知6?a?8,2?b?3，分别求a?b,a?b,的范围
b
(8,11) (3,6) (2,4)
2．x?R试比较 2x4?1与2x3?x2（作差2x4?1>2x3?x2）
3．求证：a2?b2?b2?c2?c2?a2?2(a?b?c) 证：a2?b2?2(a?b) 2b2?c2?2(b?c) 2c2?a2?2(ca) 2三式相加化简即得
第四教时
教材：极值定理
目的：要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。 过程：
二、复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式 三、若x,y?R，设Q(x,y)?21??xy?x?yx2?y2 A(x,y)? G(x,y)?xy
22H(x,y)? 求证：Q(x,y)?A(x,y)?G(x,y)?H(x,y)
加权平均；算术平均；几何平均；调和平均
x?y2x2?y2?2xyx2?y2?x2?y2x2?y)???证：∵( 2442x2?y2x?y∴即：Q(x,y)?A(x,y)（俗称幂平均不等式） ?22由平均不等式A(x,y)?G(x,y)
H(x,y)?2xy2xy??xy?G(x,y)即：G(x,y)?H(x,y) x?y2xy综上所述：Q(x,y)?A(x,y)?G(x,y)?H(x,y)
1125例一、若a?b?1,a,b?R? 求证(a?)2?(b?)2?
ab211(a??b?)211ab 证：由幂平均不等式：(a?)2?(b?)2?ab2a?ba?b2ba(1??)(3??)2(3?2)225abab ? ???2222
四、极值定理
已知x,y都是正数，求证：
1? 如果积xy是定值p，那么当x?y时和x?y有最小值2p
12? 如果和x?y是定值s，那么当x?y时积xy有最大值s2
4x?y?xy 证：∵x,y?R? ∴ 2x?y?p ∴x?y?2p 1?当xy?p (定值)时，2 ∵上式当x?y时取“=” ∴当x?y时有(x?y)min?2p 2?当x?y?s (定值)时，xy?s1 ∴xy?s2 24 ∵上式当x?y时取“=” ∴当x?y时有(xy)max?12s 4注意强调：1?最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）
2?用极值定理求最值的三个必要条件：
一“正”、二“定”、三“相等”
五、例题
1．证明下列各题：
⑴ lgx?logx10?2 (x?1) 证：∵x?1∴lgx?0 logx10?0
于是lgx?logx10?2lgxlgx10?2
⑵若上题改成0?x?1，结果将如何？ 解：∵0?x?1 lgx?0 logx10?0 于是(?lgx)?(?logx10)?2 从而lgx?logx10??2 ⑶若a?b?1 则ab?1 4解：若a,b?R?则显然有0?ab?1 41 4若a,b异号或一个为0则ab?0 ∴ab?2．①求函数y?x2(1?x)的最大值(0?x?1)
②求函数y?x(1?x2)的最大值(0?x?1) 解：①∵0?x?1 ∴1?x?0 ∴当
2x?1?x即x?时
32xx??1?x24xx4 y?4??(1?x)?4?(22即x?时ymax? )3?32722327②∵0?x?1 ∴0?1?x2?1 ∴y2?x2(1?x2)2?1?2x2?(1?x2)(1?x2) 212x2?(1?x2)?(1?x2)34?()? 2327 ∴当2x2?1?x2,x?4323时y2max? ymax?
27393．若x??1，则x为何值时x?1有最小值，最小值为几？ x?11?0 解：∵x??1 ∴x?1?0
x?1∴x?111=x?1??1?2(x?1)??1?2?1?1 x?1x?1x?1 当且仅当x?1?11)min?1 即x?0时(x?x?1x?1六、小结：1．四大平均值之间的关系及其证明
2．极值定理及三要素 七、作业：P12 练习3、4 习题6.2 4、5、6
补充：下列函数中x取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？
111? y?x(2?3x) x?时ymax?
3312?y?1?4x? x?1,ymin??2
5?4x3?x?0时 y?1?2x?36,ymin?1?6 x??x2第五教时
教材：极值定理的应用
目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。 过程：