八、复习：基本不等式、极值定理
3九、例题：1．求函数y?2x2?,(x?0)的最大值，下列解法是否正确？为什
x么？ 解一： y?2x2?31112?2x2???332x2???334 xxxxx∴ymin?334
33312223解二：y?2x??22x??26x当2x?即x?时 x2xx23 ymin?26?12?23312?26324 2答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在x使得
122x2??；解二错在26x不是定值（常数）
xx正确的解法是：y?2x2?3333393?2x2???332x2???33?336 x2x2x2x2x223336当且仅当2x?即x?时ymin?336
2x222x2?2x?22．若?4?x?1，求的最值
2x?2x2?2x?21(x?1)2?11111解：???[(x?1)?]??[?(x?1)?]
2x?22x?12x?12?(x?1)∵?4?x?1 ∴?(x?1)?0
1?0
?(x?1)从而[?(x?1)?111]?2 ?[?(x?1)?]??1
?(x?1)2?(x?1)x2?2x?2)min??1 即(2x?2y2?1，求x1?y2的最大值 3．设x?R且x?2?2
1y2解：∵x?0 ∴x1?y?2?x(?)
22221y2y2132又x?(?)?(x?)??
2222221332∴x1?y2?2(?)?
224即(x1?y2)max?4．已知a,b,x,y?R?且
32 4ab??1，求x?y的最小值 xyabayxb?解：x?y?(x?y)?1?(x?y)(?)?a?b?
xyxy ?a?b?2ayxbx?即?xyyayxb??(a?b)2 xy当且仅当
a时(x?y)min?(a?b)2 b十、关于应用题
1．P11例（即本章开头提出的问题）（略）
2．将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？
解：设剪去的小正方形的边长为x
a则其容积为V?x(a?2x)2,(0?x?)
21V??4x?(a?2x)?(a?2x)
414x?(a?2x)?(a?2x)32a3?[]? 4327当且仅当4x?a?2x即x?a时取“=” 6a2a3即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为
627十一、 作业：P12 练习4 习题6.2 7
补充：
1．求下列函数的最值：
41? y?2x2?,(x?R?) (min=6)
xa2a32?y?x(a?2x),(0?x?) (max?)
2272 2．1?x?0时求y?669?3x2的最小值，y?2?3x的最小值(9,34) x2x1x?log3(3x)的最大值(5) 2?设x?[,27]，求y?log39273?若0?x?1, 求y?x4(1?x2)的最大值(423,x?) 2734?若x,y?R?且2x?y?1，求
11?的最小值(3?22) xy3．若a?b?0，求证：a?1的最小值为3
b(a?b)4．制作一个容积为16?m3的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和 高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）
(R?2m,h?4m)
第六教时
教材：不等式证明一（比较法）
目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，
要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
过程： 一、复习：
1．不等式的一个等价命题
2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论 二、作差法：（P13—14）
1． 求证：x2 + 3 > 3x
3333 证：∵(x2 + 3) ? 3x = x2?3x?()2?()2?3?(x?)2??0
2224 ∴x2 + 3 > 3x
a?ma? 2． 已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：
b?mb
证：
a?mab(a?m)?a(b?m)m(b?a) ???b?mbb(b?m)b(b?m)∵a,b,m都是正数，并且a
a?mam(b?a)? ?0 即：b?mbb(b?m) 变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？
3． 已知a, b都是正数，并且a ? b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2 证：(a5 + b5 ) ? (a2b3 + a3b2) = ( a5 ? a3b2) + (b5 ? a2b3 )
= a3 (a2 ? b2 ) ? b3 (a2 ? b2) = (a2 ? b2 ) (a3 ? b3) = (a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a ? b，∴(a ? b)2 > 0 ∴(a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) > 0 即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m
行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m ? n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？ 解：设从出发地到指定地点的路程为S，
甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2， 则
t1?：
t1tm?1n?S,22SS??t22m2n 可得：
2SS(m?n),t2? m?n2mn2SS(m?n)S[4mn?(m?n)2]S(m?n)2∴t1?t2? ????m?n2mn2(m?n)mn2mn(m?n)∵S, m, n都是正数，且m ? n，∴t1 ? t2 < 0 即：t1 < t2 从而：甲先到到达指定地点。 变式：若m = n，结果会怎样？
三、作商法
5． 设a, b ? R，求证：ab?(ab) 证：作商：
+
aba?b2?abba
a?b2aabb(ab)a?b2?aa?b2bb?a2a?()b
a当a = b时，()b
a?b2?1
a 当a > b > 0时，?1,ba?ba?0,()2ba?b2?1
a?b2a 当b > a > 0时， 0??1,ba?ba?0,()2b?1
∴aabb?(ab)四、小结：作差、作商 五、作业： P15 练习
a?b2 （其余部分布置作业）
作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。
P18 习题6.3 1—4
第七教时
教材：不等式证明二（比较法、综合法）
目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法
证明不等式。
过程：
二、比较法：
a) 复习：比较法，依据、步骤
比商法，依据、步骤、适用题型 b) 例一、证明：y?2x2?4x?3在[2,??)是增函数。
222y12x1?4x1?3?2?2x2?4x2?x1?4x1?2(x2?x1)(x1?x2?4) 证：设2≤x1 y22x2?4x2?3∵x2 ? x1 > 0, x1 + x2 ? 4 > 0 ∴又∵y1 > 0， ∴y1 > y2 ∴y?2x三、综合法： 2y1?20?1 y2在[2,??)是增函数 ?4x?3定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。 i. 已知a, b, c是不全相等的正数， 求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc 证：∵b2 + c2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc 同理：b(c2 + a2) ≥ 2abc , c(a2 + b2) ≥ 2abc ∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc