7．已知a, b, c > 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn < cn (n≥3, n?R*)
?a??b??a??a??b??b? ∵??????1，又a, b, c > 0, ∴?????,?????
?c??c??c??c??c??c??a??b? ∴??????1
?c??c?8．设0 < a, b, c < 2，求证：(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于1
仿例四 9．若x, y > 0，且x + y >2，则
1?y1?x和中至少有一个小于2 xynn22n2n2反设
1?y1?x≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾 xy第十一教时
教材：不等式证明六（构造法及其它方法）
目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。 过程：
十三、 构造法：
1．构造函数法
例一、已知x > 0，求证： x?1?x1x?1x?5 2证：构造函数f(x)?x?由
11(x?0) 则x??2， 设2≤? 0, ?? ? 1 > 0, ?? > 0 ∴上式 >
0
∴f (x)在[2,??)上单调递增，∴左边?f(2)?例二、求证： y?5 2x2?10x2?9?10 3t2?1 证：设t?x?9(t?3) 则f(t)?y?
t2用定义法可证：f (t)在[3,??)上单调递增
t?1t2?1(t1?t2)(t1t2?1)令：3≤t1 t1t2t1t2∴y?22x2?1033?110?f(3)?? 233x?9 2．构造方程法： 例三、已知实数a, b, c，满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a, b, c中至 少有一个不小于2。 证：由题设：显然a, b, c中必有一个正数，不妨设a > 0， ?b?c??a22则? 即b, c是二次方程x2?ax??0的两个实根。 ?bc?aa?8∴??a2??0 即：a≥2 a1sec2??tan???3(??k??,k?Z) 例四、求证：?3sec2??tan?2sec2??tan?2 证：设y? 则：(y ? 1)tan? + (y + 1)tan? + (y ? 1) = 0 2sec??tan?当 y = 1时，命题显然成立 当 y ? 1时，△= (y + 1)2 ? 4(y ? 1)2 = (3y ? 1)(y ? 3)≥0 1∴?y?3 3综上所述，原式成立。（此法也称判别式法） 3．构造图形法： 例五、已知0 < a < 1，0 < b < 1，求证： a2?b2?(a?1)2?b2?a2?(b?1)2?(a?1)2?(b?1)2?22 证：构造单位正方形，O是正方形内一点 D O到AD, AB的距离为a, b， 则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|≥|AC| + |BD| 其中|AO|?a?b， |BO|?(a?1)2?b2 b 22 C 1?b O |CO|?(a?1)2?(b?1)2 A a 22 |DO|?a?(b?1) 又：|AC|?|BD|?2 1?a B ∴a2?b2?(a?1)2?b2?a2?(b?1)2?(a?1)2?(b?1)2?22 十四、 作业：证明下列不等式： 1x2?x?1?3 5． ?23x?x?1x2?x?1令y?2，则 (y ? 1)x2 + (y + 1)x + (y ? 1) = 0 x?x?1用△法，分情况讨论 6．已知关于x的不等式(a2 ? 1)x2 ? (a ? 1)x ? 1 < 0 (a?R)，对任意实数x 5恒成立，求证：??a?1。 3?a2?1?0分a ? 1 = 0和? 讨论 ???02 1??1?25??7．若x > 0, y > 0, x + y = 1，则?x??? y????x??y?4?左边?xy11??xy??2?xy? 令 t = xy，则yxxyxy21?x?y?0?t???? 4?2?11117f(t)?t?在(0,]上单调递减 ∴f(t)?f()? 4t44118．若0?a?(k?2,k?N*)，且a2 < a ? b，则b? kk?1111令f(a)?a?a2，又0?a??，f(a)在(0,)上单调递增 2k2111k?1k?11?∴b?a?a2?f()??2?2?2 kkkkk?1k?19．记f(x)?1?x2，a > b > 0，则| f (a) ? f (b) | < | a ? b| 构造矩形ABCD, F在CD上， 使|AB| = a, |DF| = b, |AD| = 1, 则|AC| ? |AF| < |CF| D F C A B 10． 若x, y, z > 0，则x2?y2?xy?y2?z2?yz?z2?x2?zx 作?AOB = ?BOC = ?COA = 120?, 设|OA| = x, |OB| = y, |OC| = z 第十二教时 教材：不等式证明综合练习 目的：系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等数 学思想。 过程： 十五、 简述不等式证明的几种常用方法 比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造 十六、 例一、已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|loga(1?x)|和 |loga(1?x)|的 大小。 解 一 a： a|la(1?x)|2? |l(1?x)|2??lao(1?x)?la(1?ox)??l (1?x)?olag(1?x)?ogogo1?x 1?x1?x1?x?1 ∴loga(1?x2)loga?0 ∵0 < 1 ? x2 < 1, 0?1?x1?x2 ?loga(1?x)loga ∴|loga(1?x)|? |loga(1?x)| 解 二 1?x(1?x)??l： 1?oxll(1?x)?l(1?x)aao1?x(1?x)?lo1?l1?x1?xg1?xo2 1?xgogo2 ?1?lo1g?x(1?x) ∵0 < 1 ? x2 < 1, 1 + x > 1, ∴?log1?x(1?x2)?0 ∴1?log1?x(1?x2)?1 ∴|loga(1?x)|? |loga(1?x)| 解三：∵0 < x < 1, ∴0 < 1 ? x < 1, 1 < 1 + x < 2, ∴loga(1?x)?0,loga(1?x)?0 ∴左 ? 右 = loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x2) ∵0 < 1 ? x2 < 1, 且0 < a < 1 ∴loga(1?x2)?0 ∴|loga(1?x)|? |loga(1?x)| 变题：若将a的取值范围改为a > 0且a ? 1，其余条件不变。 例二、已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd 证一：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数 ∴要证：xy≥ac + bd 只需证：(xy)2≥(ac + bd)2 即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 即：a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式，显然成立 ∴xy≥ac + bd 证二：（综合法）xy =a2?b2c2?d2?a2c2?b2c2?a2d2?b2d2 ≥a2c2?2abcd?b2d2?(ac?bd)2?ac?bd 证三：（三角代换法） ∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = xsin?, b = xcos? y2 = c2 + d2 c = ysin?, d = ycos? ∴ac + bd = xysin?sin? + xycos?cos? = xycos(? ? ?)≤xy 例三、已知x1, x2均为正数，求证： 1?x1?1?x2222?x?x2??1??1? 2??2证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证： 1?x1?1?x2?21?x14222221?x22x?x2?2x1x2 ?1?1422 即：(1?x1)(1?x2)?1?x1x2 再平方：(1?x1)(1?x2)?1?2x1x2?x1x2 化简整理得：x1?x2?2x1x2 （显然成立） ∴原式成立 证二：（反证法）假设 22222222221?x1?1?x222?x?x2??1??1? 2?? D C 化简可得：x1?x2?2x1x2 （不可能） ∴原式成立 证三：（构造法）构造矩形ABCD， 使AB = CD = 1, BP = x1, PC = x2 当?APB = ?DPC时，AP + PD为最短。 A P M B 取BC中点M，有?AMB = ?DMC, BM = MC = ∴ AP + PD ≥ AM + MD 即：1?x1?1?x21?x1?1?x2222x1?x2 222?x?x2??x?x2??1??1??1??1? 22????222 ∴ 十七、 ?x?x2??1??1? ?2?作业： 2000版 高二课课练 第6课 第十三教时