三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限：limx3
?2?y?t?2t?3x?0x?sinx14、设函数y?y(x)由参数方程?x?ln(1?t)15、求不定积分：?sin16、求定积分：
2x?1dx.
dx所确定，，求dy,ddx2y2.
dx?10x22.
z?212?x17、求通过直线x3?y?12?且垂直于平面x?y?z?2?0的平面方程.
18、计算二重积分??yd?，其中D?{(x,y)0?x?2,x?y?2,x2?y2?2}.
D19、设函数z?f(sinx,xy)，其中f(x)具有二阶连续偏导数，求20、求微分方程y''?y?x的通解.
?z?x?y2.
四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 21、已知函数
f(x)?x?3x?1，试求：
3（1）函数f(x)的单调区间与极值； （2）曲线y?f(x)的凹凸区间与拐点；
（3）函数f(x)在闭区间[?2,3]上的最大值与最小值.
22、设D1是由抛物线y?2x2和直线x?a,y?0所围成的平面区域，D2是由抛物线y?2x2和直线
x?a,x?2及y?0所围成的平面区域，其中0?a?2.试求：
（1）D1绕y轴旋转所成的旋转体的体积V1，以及D绕x轴旋转所成的旋转体的体积V2.
2（2）求常数a的值，使得D1的面积与D2的面积相等.
五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分） 23、已知函数
?e?x,x?0，证明函数
f(x)???1?x,x?0f(x)在点x?0处连续但不可导.
224、证明：当1?x?2时，4xlnx?x?2x?3.
26
2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
1.设当x?0时，函数f(x)?x?sinx与g(x)?axn是等价无穷小，则常数a,n的值为 ( ) A. a?1,n?3 B. a?1,n?3 C. a?1,n?4 D. a?1,n?4
63126x22.曲线y??3x?4的渐近线共有 x2?5x?6A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 3.设函数?(x)??2xet2costdt，则函数?(x)的导数??(x)等于 A. 2xex2cosx2 B. ?2xex2cosx2 C. ?2xexcosx D. ?ex2cosx24.下列级数收敛的是 ???n?A.
?n?2n?1 C.
?1?(?1) D.
?n2n
n?1n?1 B.
n?1n2?n n?1nn?125.二次积分?1y?1 0dy?1f(x,y)dx交换积分次序后得 A. ?1x?10dx?1f(x,y)dy B. ?2x?11dx?0f(x,y)dy C.
?2dx?x?11f(x,y)dy D.
?211dx?x?1f(x,y)dy
16.设f(x)?x3?3x，则在区间(0,1)内 A. 函数f(x)单调增加且其图形是凹的 B. 函数f(x)单调增加且其图形是凸的 C. 函数f(x)单调减少且其图形是凹的 D. 函数f(x)单调减少且其图形是凸的 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 7. lim(x?1xx??x?1)?
8. 若f?(0)?1，则limf(x)?f(?x)x?0x? 39. 定积分?1x?1?1x2?1dx的值为
10. 设????a?(1,2,3),b?(2,5,k)，若a与b垂直，则常数k?
11. 设函数z?lnx2?4y，则dzx?1?
y?0
27
( )
( ) ( ) ( )
( )
?12. 幂级数?n?0(?1)nnx的收敛域为
n三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限lim(x?01xtanx?1x2)
214、设函数y?y(x)由方程y?ex?y?2x所确定，求dy,d15、求不定积分?xarctanxdx 16、计算定积分
y2
dxdx?40x?32x?1dx
垂直，又与平面2x?z?5?0平行的直线的方程。
17、求通过点(1,1,1)?x?2?t，且与直线?y?3?2t??z?5?3t?18、设z?y2f(xy,ex)，其中函数f具有二阶连续偏导数，求
?z?x?y2
19、计算二重积分??xdxdy，其中D是由曲线x?1?y2，直线y?x及x轴所围成的闭区域。
D20、已知函数y?ex和y?e?2x是二阶常系数齐次线性微分方程y\?py'?qy?0的两个解，试确定常数p,q的值，并求微分方程y\?py'?qy?ex的通解。 四、证明题（每小题9分，共18分）
x?121、证明：当x?1时，e?12x?212
??(x),22、设f(x)???x?1,?x?0,x?0,其中函数?(x)在x?0处具有二阶连续导数，且
'?(0)?0,?(0)?1，证明：函数f(x)在x?0处连续且可导。
五、综合题（每小题10分，共20分）
23、设由抛物线y?x(x?0)，直线y?a(0?a?1)与y轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周
22所形成的旋转体的体积记为V1(a)，由抛物线y?x(x?0)，直线y?a(0?a?1)与直线x?122所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为V2(a)，另V(a)?V1(a)?V2(a)，试求常数a的值，使V(a)取得最小值。
24、设函数f(x)满足方程f(x)?f(x)?2e，且f(0)?2，记由曲线及y轴所围平面图形的面积为A(t)，试求limA(t) y?1,x?t(t?0)t???'xy?f(x)f(x)'与直线
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2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、C 2、D 3、B 4、D 5、A 6、2
7、y?e3x(C1cos2x?C2sin2x)，其中C1、C2为任意实数 8、?dy?yf(x,y)dx?022y?42dy?yf(x,y)dx
229、yxy?1ydx?xlnxdy 10、
645
x?112lnx??dx ?11、dy??x??1?x?1?2?2x?12、?13
13、x??1是第二类无穷间断点；x?0是第一类跳跃间断点；x?1是第一类可去间断点. 14、1 15、?e2x1?edx?x?e2x?e?e1?exxxdx?e?ln(1?e)?C 16、
xx1?
??tanxdx???tanxdxdx?C??e?lncosxsecx?e17、y?e????????secx?elncosxdx?C??x?Ccosx，
yx?0?0?0?Ccos0?C?0?y?1?yxcosx.
18、解：原式??20sinydy?21dx?1?cos42
'19、解：“在原点的切线平行于直线2x?y?3?0”?f(x)x?0??2即b??2
b3?23又由f(x)在x?1处取得极值，得f'(1)?0，即3a?b?0，得a??'2故f(x)?2x?2，两边积分得f(x)?
23x?2x?c，又因曲线y?f(x)过原点，
3所以c?0，所以y?f(x)??z?x''23x3?2x
220、?f1?2x?f2?1y，
?z?x?y13??2xy22f''12?xy3f65''22?1y2f'2
21、（1）2y?x?1?0；（2）
'；（3）Vx?'?6，Vy??
22、?limf(?x)??x?f(?x)1'?x?0?limf(?x)??x?f(?x)(?x)''2?x?0
?limf(?x)??x?f(?x)?f(?x)2?x'''?x?0?limf(?x)??x2?x?x?0?12f(0).
''23、由拉格朗日定理知：
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f(a?b)?f(b)af(a)?f(0)a?f(?1) (b??1?a?b)，
''?f(?2) (b??2?a)
由于f'(x)在(0,c)上严格单调递减，知f'(?1)?f'(?2)，因f(0)?0，故
f(a)?f(b)?f(a?b).
24、解：设每月每套租金为200?10x，则租出设备的总数为40?x，每月的毛收入为：
(200?10x)(40?x)，维护成本为：20(40?x).于是利润为：
L(x)?(180?10x)(40?x)?7200?220x?10x (0?x?40) L(x)?0?x?11
'2比较x?0、x?11、x?40处的利润值，可得L(11)?L(0)?L(40)， 故租金为(200?10?11)?310元时利润最大.
2002年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
01－05、ACABD 14、?2e?z?x?x06－10、CBABB 11、1 12、(??，1] 13、0
elnx0?3 15、?dx?1f(x,y)dy 16、y32 17、1
18、?1x?y22，
?z?y?x2??(x?y)224
19、解：令t?x?1，则x?2时t?1，x?0时，t??1，
所以?f?x?1?dx?02?011?e2x?1dx??1011?xdx?1?ln(1?e?1)?ln(e?1)
220、原式?21、y?e?20dy?1?yy2?x?ydx?142?40d??r?rdr?021?12
cosx(x?1) 22、arcsinx?C
223、（1）k?e
1??1ln(1?x)?x??(1?x)??2??.......x?0?'x?x(1?x)?（2）f(x)?? e??................................................x?0??2 30