应?d3
，所以它的中心自由活动空间的体积V1=（L-d）。 2（2） 第二个分子放入后，它的中心自由活动空间应是V1减去第一个分子的排斥球体积，
即：
V2?V1?4?d2 34?d2 3(3)第NA个分子放入后, 其中心能够自由活动的空间体积:
VA?V1?(NA?1)(4) 平均地讲，每个分子的中心能够自由活动的空间为：
V??1444{V1?(V1??d3)?(V1?2??d3)???[V1?(NA?1)?d]}NA33314{NAV1??d3[1?2?3????(NA?1)]}NA3N?14?d3A32?V1?因为L?d，NA?1，所以
V?V?N44d?d3?A?V?4NA??()3 3232容积为V的容器内有NA个分子，即容器内有一摩尔气体，按修正量b的定义，每个分子自由活动空间V?V?b，与上面结果比较，易见：
b?4NA?4d?()3 32即修正量b是一摩尔气体所有分子体积总和的四倍。
第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
3-1 设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数Ni 速率Vi（m/s）
试求(1)平均速率V；（2）方均根速率V 解：（1）平均速率：
V?2?1.00?4?2.00?6?3.00?8?4.00?2?5.00?3.18(m/s)
2?4?6?8?222 1.00 4 2.00 6 3.00 8 4.00 2 5.00 （3）最可几速率Vp
(2) 方均根速率
V2??NiVi2?3.37(m/s)
?Ni3-2 计算300K时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。
解：VP?8RT2RT?2?8.31?300?395m/s ?332?10??V?2???8?8.31?300?446m/s ?33.14?32?10?3?8.31?300?483m/s ?332?10V3RT?
3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K、1000K和10000K。
解：VP?2RT?代入数据则分别为：
T=100K时 VP?2.28?102m/s T=1000K时 VP?7.21?102m/s T=10000K时 VP?2.28?103m/s
3-4 某种气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度T2时的平均速率，求T2/T1。
解：因V2?3RT? V?8RT2??
由题意得：
3RT?8RT2???
∴T2/T1=
3? 83-5 求0℃时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可
将dv近似地取为△v=1m/s）
解：设1.0cm3氮气中分子数为N，速率在500~501m/s之间内的分子数为△N，
由麦氏速率分布律：
?V2m22KT△ N=N?4?()e?V2??V
2?KT3m ∵ Vp2=
2KT
，代入上式 m
?V?1 △N=
4N?V??2eVp2?V22Vp?V
因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s， 又VP?2?8.31?273?402m/s △V=1m/s
28?10?3v
（ =1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N个 vp
3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N1
与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N2之比。 解： 取分子速率为V1=3000m/s V2=1500m/s, △V1=△V2=10m/s 由5题计算过程可得： △V1=
4N?V?1p?4NV?2eVpV?2eVp22?V122Vp?V1
△N2=
??V?1p?V222Vp?V2
∴ △N/△N2=
V12?(Vp)()?eVp(V12)eVpV?(1)2VpV12
其中VP=
2?8.31?573?2.18?103m/s ?32?10v1v2
=1.375， =0.687
vpvp
?N11.3752?e?1.375 ∴ ??0.969 2?0.6872?N20.687?e2 解法2：若考虑△V1=△V2=10m/s比较大，可不用近似法，用积分法求△N1，
△N2
V2 dN=
4N??V?3pe?V2V2dVP
△N?V2dN??V2V11=V10dN??0dN
△N32=?V4dN??V4dN??VVdN
300 令Xvi
i=v i=1、2、3、4利用16题结果:
p
?Vi2?x2i0dN?N[erf(xi)??xie
∴ △NN[erf(x2?x22N[erf(x21=?x212)??xie]?1)??x1e] △N2e?x24]?N[erf(x22=N[erf(x4)??x43)??x3e?x23] 其中V2RTP=
??2.182?103m/s
xV11?V?1.375 xV22??1.379 PVPxV33?V?0.687 xV4?4?0.6722 PVP查误差函数表得：
erf(x1)=0.9482 erf(x2)=0.9489 erf(x3)=0.6687 erf(x4)=0.6722
将数字代入（１）、（２）计算，再求得：
1）
（ （２）?N1?0.703 ?N2
3-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率： （1） 速率在区间vp～1.0vp1内 （2） 速度分量vx在区间vp～1.0vp1内
（3） 速度分量vp、vp、vp同时在区间vp～1.0vp1内
解：设气体分子总数为N，在三种情况下的分子数分别为△N1、△N2、△N3 （1） 由麦氏速率分布律： △ N=?dN??dN??dN
V100V2V2V1令v2=1.01vp，vi=vp，xi?题结果可得；
vivv，则x1?1?1，x2?2?1.01，利用16vpvpvp22?N122?erf(x2)?x2e?x2?erf(x1)?x1e?x1 N??查误差函数表：erf（x1）=0.8427 erf（x2）=0.8468 ∴
?N1?0.008 N（2） 由麦氏速率分布律：
dNx?N1v?pe?2vxv2p?Ndvx
?(vx2)vp∴?N2??1v?p?e0v2vp0v2dvx?N?1v?p?e0v1?(vx2)vpdvx
vx2v)]d(x) vpvp?N21?N??vv1exp[?(x)2]d(x)?vpvp??v1vp0exp[?(令x?vxvv， x1?1?1，x2?2?1.01 vpvpvp?N21∴?N??x20e?x2dx?1??x10e?x2?dx
利用误差函数：