90题突破高中数学圆锥曲线
x2y21.如图，已知直线L：x?my?1过椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点F，且交椭圆
abC于A、B两点，点A、B在直线G:x?a2上的射影依次为点D、E。 （1）若抛物线x2?43y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）（理）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定
点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。
2.如图所示，已知圆C:(x?1)?y?8,定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM?2AP,NP?AM?0，点N的轨迹为曲线E。
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足FG??FH,求?的取值范围。
22
x2y23.设椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直
aby 8线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且 AP?PQ 5⑴求椭圆C的离心率；
⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线
F A P O Q x l： x?3y?5?0相切，求椭圆C的方程.
x2y224.设椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为e=
2ab （1）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之
和为4,求椭圆的方程.
（2）求b为何值时，过圆x+y=t上一点M（2，2）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，
而且OQ1⊥OQ2．
5.已知曲线c上任意一点P到两个定点F1(-3，0)和F2(3，0)的距离之和为4． （1）求曲线c的方程；
（2）设过(0，-2)的直线l与曲线c交于C、D两点，且OC?OD?0(O为坐标原点），求直
2
2
2
线l的方程．
y26.已知椭圆x?2?1(0?b?1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、
bB、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（Ⅰ）当m＋n>0时，求椭圆离心率的范围； （Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．
27.有如下结论：“圆x?y?r上一点P(x0,y0)处的切线方程为x0y?y0y?r2”，类比
222x2y2也有结论：“椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程为
abx0xy0yx2?y2?1的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，?2?1”，过椭圆C：24ab切点为 A、B.
（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积 x2y28.已知点P（4，4），圆C：(x?m)?y?5(m?3)与椭圆E：2?2?1(a?b?0)有一个
ab公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．
（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；
???????? （Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求AP?AQ的取值范围．
229.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A(0,2)，右焦点F与点B(2,为2。
（1）求椭圆的方程；
2)的距离
（2）是否存在斜率k?0的直线l：y?kx?2，使直线l与椭圆相交于不同的两点M,N满足|AM|?|AN|，若存在，求直线l的倾斜角?；若不存在，说明理由。
6x2y210.椭圆方程为2?2?1(a?b?0)的一个顶点为A(0,2)，离心率e?。
3ab（1）求椭圆的方程；
（2）直线l：y?kx?2(k?0)与椭圆相交于不同的两点M,N满足
MP?PN,AP?MN?0，求k。
y211.已知椭圆x?2?1(0?b?1)的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C
b2三点作?P，其中圆心P的坐标为(m,n)．
(1) 若椭圆的离心率e?3，求?P的方程； 2（2）若?P的圆心在直线x?y?0上，求椭圆的方程．
x2y212.已知直线l:y?x?1与曲线C:2?2?1(a?0,b?0)交于不同的两点A,B，O为
ab坐标原点．
（Ⅰ）若|OA|?|OB|，求证：曲线C是一个圆；
（Ⅱ）若OA?OB，当a?b且a?[610 ,]时，求曲线C的离心率e的取值范围．
22x2y213.设椭圆C:2??1(a?0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，且
a21AF2?F1F2?0，坐标原点O到直线AF1的距离为|OF1|．
3（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P(?1,0)，较y轴于点M，若
MQ?2QP，求直线l的方程．
14.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点P(x0,y0)(x0?0)的切线方程为y?y0?2ax0(x?x0)(a为常数）. （I）求抛物线方程；
（II）斜率为k1的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为k2的直线PB与抛物线的另
一交点为B（A、B两点不同），且满足k2??k1?0(??0,???1),若BM??MA，求证线段PM的中点在y轴上；
（III）在（II）的条件下，当??1,k1?0时，若P的坐标为（1，－1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.
15.已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且 AP?tPB(t是不为零的常数).设点P的轨迹方程为c。
（1）求点P的轨迹方程C；
（2）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（M、N不在坐标轴上），点Q
坐标为(,3),求△QMN的面积S的最大值。
32y2x216.设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆2?2?1(a?b?0)上的两点，
abxyxy3????,短轴长为2，O已知m?(1,1)，n?(2,2)，若m?n?0且椭圆的离心率e?2baba为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由
x2y217.如图，F是椭圆2?2?1(a>b>0)的一个焦点，A,B是椭圆的
ab两个顶点，椭圆的离心率为
1．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，2F三点确定的圆M恰好与直线l1：x?3y?3?0相切． （Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）过点A的直线l2与圆M交于PQ两点，且
MP?MQ??2，求直线l2的方程．
18.如图，椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AF?FB?1OF?1． （1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为?PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由.
y 319.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(4,1). 直线M 2l:y?x?m交椭圆于A,B两不同的点.
(1)求椭圆的方程;(2)求m的取值范围;(3)若直线l不过点M,求证:直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形.O B l x A 20.设F(1,0)，点M在x轴上，点P在 y轴上，且MN?2MP,PM?PF （1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲线C上的点，且|AF|,|BF|,|DF|成等差数
????????????????21.已知点B??1,0?,C?1,0?,P是平面上一动点，且满足|PC|?|BC|?PB?CB
（1）求点P的轨迹C对应的方程；
（2）已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD?AE，
判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.
22.已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(?2,0)、B(2,0)、C?1,三点．
列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时，求B点坐标.
?3???2?
（1）求椭圆E的方程：
（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F(?1,0),H(1,0)，当?DFH内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线l:y?k(x?1)(k?0)与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线
BN的交点在直线x?4上．
23.过直角坐标平面xOy中的抛物线y?2px?p?0?的焦点F作一条倾斜角为
2?的直线4与抛物线相交于A，B两点。 （1）用p表示A，B之间的距离；
（2）证明：?AOB的大小是与p无关的定值，
并求出这个值。
x2y224.设F1,F2分别是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左右焦点
ab3(1)设椭圆C上的点(3,写出椭圆C的方程和焦点坐标 )到F1,F2两点距离之和等于4，
2(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程
(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，
PN的斜率都存在，并记为kPM,KPN 试探究kPM并证明你的结论。
?KPN的值是否与点P及直线L有关，
x2y2325.已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的离心率为，直线l:y?x?2与以原点为圆
3ab心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.
（I）求椭圆C1的方程；
（II）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直
线l2垂直l1于点P，线段PF2垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
???????????? （III）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R,S在C2上，且满足QR?RS?0,求QS的
取值范围.
22xy26.如图所示，已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)，F1、F2为
ab其左、右焦点，A为右顶点，l为左准线，过F1的直线l：
/x?my?c与椭圆相交于P、
Q两点，且有：AP?AQ???M l P F1 y 1 (a?c)2（c为椭圆的半焦距）
2O （1）求椭圆C的离心率e的最小值；
N A x Q l/