2012高考数学专题复习 （第2轮 难点突破）
函数与导数问题解题方法探寻及典例剖析
【考情分析】
1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来，考查用导数工具研究函数性质的综合题基本已经定位到压轴题的位臵了． 2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
【常见题型及解法】
1. 常见题型
一、 小题： 1. 函数的图象 2. 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性); 3. 分段函数求函数值； 4. 函数的定义域、值域（最值）； 5. 函数的零点； 6. 抽象函数； 7. 定积分运算（求面积） 二、大题： 1. 求曲线y=f(x)在某点处的切线的方程； 2. 求函数的解析式 3. 讨论函数的单调性，求单调区间； 4. 求函数的极值点和极值； 5. 求函数的最值或值域； 6. 求参数的取值范围 7. 证明不等式； 8. 函数应用问题
2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）：
(1)曲线y?f(x)在x?x0处的切线的斜率等于f?(x0)，且切线方程为 y?f?(x0)(x?x0)?f(x0)。 (2)若可导函数y?f(x)在 x?x0 处取得极值，则f?(x0)?0。反之，不成立。 (3)对于可导函数f(x)，不等式f?(x)?0（?0）的解集决定函数f(x)的递增（减）区间。 (4)函数f(x)在区间I上递增（减）的充要条件是：?x?If?(x)?0(?0)恒成立（f?(x) 不恒为0）. (5)函数f(x)（非常量函数）在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值，则可等价转化为方程f?(x)?0在区间I上有实根且为非二重根。（若f?(x)为二次函数且I=R，则有??0）。 (6) f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数，进而得到f?(x)?0或f?(x)?0在I上恒成立 (7)若\x?I，f(x)?0恒成立，则f(x)min?0; 若?x?I，f(x)?0恒成立，则f(x)max?0 (8)若?x0?I，使得f(x0)?0，则f(x)max?0；若?x0?I，使得f(x0)?0，则f(x)min?0. (9)设f(x)与g(x)的定义域的交集为D，若?x?D f(x)?g(x)恒成立，则有 ?f(x)?g(x)?min?0. (10)若对?x1?I1、x2?I2 ，f(x1)?g(x2)恒成立，则f(x)min?g(x)max. 若对?x1?I1，?x2?I2，使得f(x1)?g(x2),则f(x)min?g(x)min. 若对?x1?I1，?x2?I2，使得f(x1)?g(x2)，则f(x)max?g(x)max. （11）已知f(x)在区间I1上的值域为A,，g(x)在区间I2上值域为B， 若对?x1?I1,?x2?I2，使得f(x1)=g(x2)成立，则A?B。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程f?(x)?0有两个不等实根x1、x2，且极大值大于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① lnx?x?1(x?0) ② ln（x+1）?x(x??1) ③ ex?1?x ④ e⑤ lnxx?1?(x?1) x?12?x?1?x ⑥ lnx11??(x?0) 22x22x
3. 解题方法规律总结
1. 关于函数单调性的讨论：大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此，讨论函数单调性的问题，又往往转化为二次函数在所给区间上的符号问题。要结合函数图象，考虑判别式、对称轴、区间端点函数值的符号等因素。 2. 已知函数（含参数）在某区间上单调，求参数的取值范围，有三种方法： ①子区间法；②分离参数法；③构造函数法。 3. 注意分离参数法的运用：含参数的不等式恒成立问题，含参数的不等式在某区间上有解，含参数的方程在某区间上有实根（包括根的个数）等问题，都可以考虑用分离参数法，前者是求函数的最值，后者是求函数的值域。 4. 关于不等式的证明：通常是构造函数，考察函数的单调性和最值。有时要借助上一问的有关单调性或所求的最值的结论，对其中的参数或变量适当赋值就可得到所要证的不等式。对于含有正整数n的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式（上述结论中的13），确定要证明的函数不定式（往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关），再对自变量x赋值，令x分别等于1、2、…….、n,把这些不定式累加，可得要证的不定式。） 5. 关于方程的根的个数问题：一般是构造函数，有两种形式，一是参数含在函数式中，二是参数被分离，无论哪种形式，都需要研究函数在所给区间上的单调性、极值、最值以及区间端点的函数值，结合函数图象， 确立所满足的条件，再求参数或其取值范围。
【基本练习题讲练】
【例1】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，
睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚 乌龟还是先到达了终点??用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ）
A B C D 【答案】 B 【解析】在选项B中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短． 【点评】函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．
【例2】（山东高考题）已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x)，且在区间
[0,2]上是增函数，若方程f(x)?m(m?0)在区间[?8,8]上有四个不同的根
x1,x2,x3,x4，则x1?x2?x3?x4?_________. 【答案】 -8 【解析】因为定义在R上的奇函数，满足f(x?4)??f(x)，所以f(x?4)?f(?x)，所以, 由f(x)为奇函数，所以函数图y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x
象关于直线x?2对称且f(0)?0，由f(x?4)??f(x)知f(x?8)?f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f(x)在区间[0,2]上 是增函数，所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0) 在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，不妨设x1?x2?x3?x4，由对称性知x1?x2??12，x3?x4?4．所以x1?x2?x3?x4??12?4??8． 【点评】本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．
x【例3】若x1是方程lgx?x?3的解，x2是10?x?3 的解，则x1?x2的值为（ ）
123A．
2 B．3 C．3 D．3
3【解析】作出y1?lgx,y2?3?x,y3?10x的图象，y2?3?x,y?x交点横坐标为，23而x1?x2?2??3． 【答案】C 2【点评】该题考查了指数函数、对数函数的图象及性质．综合了函数的图象、方程的解及曲线的交点等问题．指数函数、对数函数是两类重要的基本初等函数， 高考中以它们为载体的函数综合题既考查双基， 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用．
【例4】若函数f(x)?ax?x?a(a?0且a?1)有两个零点，则实数a的取值范围
是 ．
【解析】设函数y?ax(a?0且a?1)和函数y?x?a，则函数f(x)?ax?x?a (a?0且a?1)有两个零点， 就是函数y?ax(a?0且a?1)与函数y?x?a有两个交点，由图象可知：当0?a?1时两函数只有一个交点，不符合，当a?1时，因为函数y?ax(a?1)的图象过点(0，1)，而直线y?x?a所过的点一定在点(0，1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a?1． 【答案】a?1